Una explicación pedestre de los Grupos de Renormalización - de la QED a las teorías de campo clásicas

Question

Poco después de la invención de electrodinámica cuántica Se descubrió que la teoría tenía algunas propiedades muy malas. Se necesitaron veinte años para descubrir que ciertas infinitos podría ser superado por un proceso llamado renormalización .

Se podría decir que la razón física detrás de esto es que sólo somos conscientes de teorías eficaces que son fiables en determinados escalas dadas por constantes más o menos fundamentales. La renormalización nos dice cómo tratar esta situación y sólo considerar los efectos de un rango específico.

El técnica para realizar los cálculos se llama grupo de renormalización . Es una herramienta poderosa y no es de extrañar que esté muy desarrollada, ya que no se puede calcular nada sin ella en las teorías de campos cuánticos.

Per-se, este procedimiento no se limita a su raíz y se podría preguntar el pregunta :

¿Cómo podemos utilizar el grupo de renormalización para encontrar teorías eficaces para las teorías de campo clásicas?

Supongo que, un ejemplo donde se ha hecho esto muy recientemente se puede encontrar en Análisis del grupo de renormalización de la hidrodinámica turbulenta .

Agradecería cualquier idea, ejemplo, etc.
Sinceramente

Robert

P.D.: La pregunta está naturalmente relacionada con Cómo calcular las propiedades de las cuasipartículas fotónicas y en una línea suelta con Una explicación pedestre de los bloques conformados .
Como no soy un experto en la materia, por favor, aconséjeme si algo no está claro o simplemente es erróneo.

Answer 1

Yo tampoco soy un experto en este tema, pero estoy tratando de entenderlo.
Ahora mismo estoy intentando hacer una jerarquía adecuada de conceptos relacionados con la renormalización. Permítanme enumerarlos y decir cómo están relacionados:

1. Campos, Lagrangiano (Hamiltoniano) y constantes de acoplamiento.
2. Cálculos perturbativos.
3. Diferentes escalas.
4. Autosimilaridad.
5. Quantum campos.
6. Divergencias ultravioletas.
7. Renormalización.
8. Renormalización grupo y los acoplamientos en marcha.
   (Permítanme subrayar que la "renormalización" y el "grupo de renormalización" son conceptos diferentes).

Por supuesto, el concepto de campo y la forma de describirlo (1) es un punto de partida.

Ahora, me parece (aunque puedo estar equivocado) que cada vez que hablamos de renormalización siempre tratamos con alguna aproximación perturbativa (2). Siempre hay algo que queremos descuidar. Y si hay una manera de hacer los cálculos sin ninguna aproximación entonces no es necesario utilizar técnicas relacionadas con la renormalización.

Uno de los ejemplos más sencillos es la hidrodinámica: no se quiere "bajar" al nivel de las moléculas para describir una corriente de agua. Se quiere trabajar con algunas cantidades "integrales", como la viscosidad. Y la viscosidad puede utilizarse para describir procesos a muchas escalas diferentes (3): corriente sanguínea, mariposa, submarino, interior de la estrella, etc.

La hidrodinámica funciona a diferentes escalas debido a la autosimilaridad (4): al ir varios órdenes de magnitud más grandes todavía se puede describir el sistema con el mismo Lagrangiano, pero, tal vez, con algunos parámetros cambiados. Cuando se hace la transición de una escala a otra siempre se descuidan algunas peculiaridades (2), que ocurren a menor escala.

Esta es la esencia de grupo de renormalización (8) técnicas. Los parámetros cambiantes también se denominan acoplamientos en marcha. Te recomiendo que leas sobre la transformación de Kadanoff, para obtener más información al respecto.

Nótese que no he mencionado las divergencias ni mucho menos. Porque este es un tema ligeramente diferente. Y uno puede usar el grupo de renormalización incluso si no hay infinitos.

Las divergencias de los rayos UV aparecen debido a nuestra ignorancia sobre las escalas más pequeñas. Cuando hablamos de hidrodinámica sabemos que existe una "escala fundamental": las mencionadas moléculas. Pero cuando hablamos de quantum (6) (como el campo electromagnético o algún campo de fermiones) no sabemos cuál es la escala "fundamental" para él. Ni siquiera sabemos si existe.

Los diferentes métodos para tratar las divergencias se denominan métodos de renormalización (7). Se basan también en cambios de los parámetros del Larangiano, pero ahora estos cambios son "infinitos" porque hay que "compensar los infinitos" que aparecen de las escalas pequeñas. Después de anular los infinitos de esta manera uno todavía se queda con la arbitrariedad de elegir un valor finito de los parámetros. Se pueden fijar los parámetros obteniéndolos del experimento a cierta escala(3) y utilizar el grupo de renormalización (8) para pasar de una escala a otra.

Answer 2

En primer lugar, la noción completa de grupo de renormalización, tal y como se estudia en la QFT, definitivamente no es necesaria en la teoría clásica. Esto se debe a que la QFT en realidad no tiene sentido sin un esquema de renormalización y para cualquier teoría uno siempre tiene que investigar el flujo de acoplamientos hacia algunos puntos fijos (correspondientes a las teorías de campo conformes) para comprobar si la teoría dada es renormalizable en primer lugar. Así pues, la renormalización es una parte integral de la QFT en gran contraste con las teorías clásicas.

Otro lugar en el que la noción de flujo del grupo de renormalización es importante es la teoría de la materia condensada. Esto se debe a que estos flujos tienen puntos fijos que (cuando no son triviales) corresponden a puntos críticos (esto está de nuevo relacionado con la mencionada simetría conforme). El grupo de renormalización se utiliza entonces para ver cómo se comporta el flujo en torno a este punto y esto proporciona información valiosa sobre el comportamiento de las cantidades macroscópicas (como el calor específico) en el punto crítico.

Pero la noción por sí misma no es terriblemente importante si lo único que te importa es integrar los grados de libertad UV. No creo que necesites ninguna flujo en la teoría clásica. Basta con integrar alguna interacción energética con un campo ambiente para obtener una masa efectiva (para un ejemplo concreto). Aunque el grupo de renormalización proporciona un marco útil para la comprensión general de las escalas de las teorías y su eficacia, no es realmente necesario la mayor parte del tiempo.

Answer 3

Marek escribió: "En primer lugar, la noción completa de grupo de renormalización, tal como se estudia en la QFT, definitivamente no es necesaria en la teoría clásica...."

Marek, la renormalización de la masa apareció por primera vez en el electromagnetismo clásico, ¿no es así? Toma la "definición": $m_{physical} = m_{bare} + \delta m$ . Esta es una restricción para dos adiciones, por lo que hay un grupo de "invariancia" uniparamétrica incluso en el CED. Tan pronto como la renormalización de la masa (descartando $\delta m$ a la originalmente física $m $ ) se hace exactamente, sólo una vez, no es realmente interesante, por decir lo menos. En QED esta "libertad" se extiende a la carga y se hace de forma perturbada, pero el sentido principal sigue siendo que el grupo de renormas es una "libertad" en la elección de los dos términos para satisfacer una restricción: $e_{physical} = e_{bare}(\Lambda) + \delta e(\Lambda)$ donde $(\Lambda)$ es un límite.

Si volvemos al sentido original de las renormalizaciones en cuanto a descartar correcciones perturbativas innecesarias a los valores de las constantes fundamentales originalmente correctas y físicas, no aparece ningún grupo, no se deriva ninguna relación estúpida entre las constantes "desnudas" y las "físicas" (ningún polo de Landau), y todo es sencillo: se descartan las contribuciones infinitas o finitas de la autoacción. La autoacción es un concepto erróneo: no conduce a ningún cambio (no hay acción por definición), sólo a términos erróneos que hay que descartar al final.