La carga de color es la representación del grupo gauge SU(3). La teoría de la representación de SU(3) se describe a continuación:
La representación básica se denomina "3" o representación fundamental, o definitoria. Es un triplete de números complejos $V^i$ que se transforman bajo una matriz SU(3) de 3 por 3 al multiplicarse por la matriz El valor de "i" se denomina a veces "rojo", "verde", "azul", de modo que un quark que está todo en el $V^1$ la dirección es roja, etc. Esto es razonable, porque cada vector de representación fundamental es una combinación lineal con coeficiente complejo de rojo-verde-azul.
Hermann Weyl demostró que cualquier otra representación se da en algún lugar de los tensores: $V^{i_1,i_2 .. i_n}_{j_1,j_2,...,j_m}$ donde los índices superiores se transforman multiplicando el índice por la matriz SU(3), y los inferiores multiplicando por la matriz conjugada, que también es la inversa. La adición de representaciones es igual que la adición del momento angular en la mecánica cuántica, tomando productos tensoriales.
Calentamiento: Representaciones rápidas SU(2)
Para SU(2), los tensores invariantes son $\delta^i_j$ , $\epsilon_{ij}$ et $\epsilon^{ij}$ que son la traza y el volumen bidimensional. Puede subir y bajar los índices utilizando $\epsilon$ tensores, por lo que cada representación tensorial es equivalente a una con todos los índices hacia abajo. Tres índices antisimétricos cualesquiera son necesariamente cero, y dos índices antisimétricos cualesquiera pueden eliminarse contrayéndolos con el tensor épsilon apropiado. Así que sólo hay grupos de índices simétricos en una representación.
Las representaciones irreducibles se agotan con los tensores totalmente simétricos con todos los índices hacia abajo:
$$ T_{i_1, i_2 , .... i_n}$$
Porque cuando se multiplican dos de estos, se obtiene un tensor
$$ T_{i_1, i_2,....,i_n;j_1, j_2, ... j_n'}$$
con simetría al permutar los primeros n índices y los últimos n' índices. Lo escribiré como (n,n'). Contrayendo el $\epsilon$ tensor en una de las i y en una de las j (todas dan el mismo resultado porque son simétricas), se extrae una representación (n-1,n'-1) de esto. El resto es totalmente simétrico en n+n' índices, porque has eliminado la parte antisimétrica. El resultado es la descomposición
$$(n,n') = (n+n') + (n-1,n'-1)$$
De modo que, recursivamente, el producto tensorial de (n) y (n') se descompone en
$$(n+n'), (n+n'-2), (n+n'-4), ... (1) or (0)$$
donde el último término es 1 si n+n' es impar, o 1 si n+n' es par. Si reconoces que el tensor totalmente simétrico de n índices con dos valores posibles para cada índice tiene exactamente n+1 componentes diferentes, te das cuenta de que la representación (n) es simplemente la representación de espín (n/2), y la descomposición anterior es la conocida serie de Clebsch-Gordon para la adición del momento angular cuántico.
El método tensorial nunca se enseña por alguna razón, pero es la forma más rápida de hacer descomposiciones de Clebsch-Gordon en la vida real.
Volver a SU(3)
Las transformaciones SU(3) preservan los productos internos, y los volúmenes complejos tridimensionales, por lo que hay tres tensores invariantes básicos, $\delta^i_j$ , $\epsilon_{ijk}$ et $\epsilon^{ijk}$ . El $\epsilon$ Los tensores permiten tomar la parte antisimétrica de dos índices superiores cualesquiera y convertirla en un índice inferior, o la parte anyisimétrica de dos índices inferiores y convertirla en un índice superior.
Las representaciones irreducibles de SU(3) son todos los tensores
$$ T^{i_1,i_2,....,i_n}_{j_1,j_2,...,j_m}$$
que son totalmente simétricos en los índices superiores y totalmente simétricos en los índices inferiores. Para ver esto, llamemos a esta representación (n;m), y tensoricemos dos representaciones de este tipo para producir
$$(n,n';m,m')$$
Es decir, n índices superiores totalmente simétricos seguidos de n' índices superiores totalmente simétricos, y m índices inferiores totalmente simétricos seguidos de m' índices inferiores totalmente simétricos.
Entonces, actuando el tensor epsilon entre el grupo n y n' se obtiene
$$(n,n'; 1,m,m')$$
dejando atrás $(n+n';m,m')$ ya que quita la parte antisimétrica. La regla recursiva es la siguiente
$$(n_1,...,n_k; m_1,,...,m_k) \rightarrow $$ $$ (n_1+n_2,n_3,...,n_k;m_1,...,m_k) \oplus (n_1-1,n_2-1,n_3,...n_k; 1, m_1, ...,m_k)$$
$$(n_1,...,n_k; m_1,....,m_k) \rightarrow$$ $$ (n1,...,n_k; m_1+m_2,m_3,...,m_k) \oplus (1,n_1,...,n_k;m_1-1,m_2-1,...,m_k)$$
Estas reglas corresponden a la actuación con los dos tensores épsilon, y terminan en términos de la forma (n;m) en un número finito de pasos, porque cualquiera de las cosas del lado derecho tiene un número menor de grupos, o una suma menor de índices. Descomponiendo las trazas de (n;m) se obtienen todas las representaciones irreducibles.
Eliminación de los rastros
Después de reducir los tensores a (n;m), se eliminan todas las partes de la traza, restando $\delta^i_j$ por un tensor (n;m). Esto convierte cada (n,m) de la sección anterior en una serie de partes (n-k;m-k) reducidas a trazos que van de k=0 a k=min(m,n). Estos tensores son las verdaderas representaciones irreducibles.
La carga de color se define como la representación de SU(3) del objeto coloreado. La representación está indexada por (n,m). La carga de color de una instancia del objeto real es una lista n de valores rgb-rgb-..rgb, donde el orden no importa, y una lista m de colores cmy-cmy...-cmy, donde el orden no importa. Estos son los colores básicos, y los superpones con números complejos arbitrarios, pero imponiendo la condición de rastreo, que es un poco difícil de enunciar en lenguaje RGB - dice que la suma de (r,LIST;c,LIST) + (g,LIST;m,LIST') + (b,LIST;y,LIST') es cero para cualquier color en LIST y LIST'.
Para añadir dos cargas de color, se utiliza el procedimiento anterior para los productos tensoriales. La suma de dos cargas de color es una mezcla complicada de cargas de color, dada por la descomposición de la representación tensorial.
Estas reglas son relativamente complicadas, así que agradece que las únicas representaciones de color fundamentales en el mundo sean los tripletes fundamentales de quarks, y los tensores sin traza de un índice arriba y uno abajo de gluones, y que todos los hadrones sean singletes.
