¿Cuándo un homeomorfismo es un difeomorfismo respecto a una estructura suave adecuada?

Question

Supongamos que tenemos un homeomorfismo $\phi:M\rightarrow M$ , donde $M$ es una variedad topológica que admite al menos una estructura suave.

¿Es siempre posible construir una estructura lisa en $M$ con respecto a ella $\phi$ será un difeomorfismo?

Por supuesto, cuando hay poca libertad en la definición de la estructura lisa, la respuesta es claramente no en general: Tomemos el ejemplo clásico de $M=\mathbb{R}$ , $\phi(x)= x^3$ . $\phi$ es un homeomorfismo, pero su inversa no es suave con respecto a la estructura suave estándar en $\mathbb{R}$ . (que es el único que existe en $\mathbb{R}$ ). Tenga en cuenta que $\phi$ en sí mismo es suave.

Actualización: Como señaló Andy Putman, me equivoqué al pensar que no hay una estructura suave que haga $\phi$ un difeomorfismo. (Tal estructura existe de hecho, es claramente diferente de la estándar, aunque difeomorfa a ella).

Supongo que en la mayoría de los casos la respuesta será negativa. Sin embargo, me gustaría encontrar algunas condiciones suficientes o necesarias para $M$ y $\phi$ que garantizan la existencia de una estructura tan fluida. (En particular, ¿es siempre posible asegurar que al menos uno de los $\phi$ , $\phi^{-1}$ es suave).

Answer 1

Permítame responder primero a su última pregunta en forma negativa: existen homeomorfismos $f:M \rightarrow M$ de los colectores alisables $M$ de tal manera que ni $f$ ni $f^{-1}$ son suaves con respecto a cualquier estructura suave en $M$ . De hecho, podemos tomar $M = S^3$ . Bing ha construido homeomorfismos $f:S^3 \rightarrow S^3$ tal que $f \circ f = \text{id}$ y tal que el conjunto fijo de $f$ es la esfera de cuernos de Alexander. Véase

Bing, R. H. Un homeomorfismo entre la 3-esfera y la suma de dos esferas sólidas con cuernos. Ann. of Math. (2) 56, (1952). 354-362.

El mapa $f$ (y por tanto el mapa $f^{-1} = f$ ) no es suave con respecto a cualquier estructura suave en $S^3$ debido a un teorema de P. Smith que dice que el conjunto fijo de cualquier difeomorfismo periódico de $S^3$ es una superficie o círculo suavemente incrustado. Este es el comienzo de una larga historia que culminó con la demostración de la conjetura de Smith, que dice que cualquier difeomorfismo periódico de $S^3$ es suavemente conjugado a un elemento del grupo ortogonal. Este fue uno de los primeros triunfos del trabajo de Thurston; para una exposición detallada del mismo, véase el libro

La conjetura de Smith. Ponencias presentadas en el simposio celebrado en la Universidad de Columbia, Nueva York, 1979. Editado por John W. Morgan y Hyman Bass. Matemáticas puras y aplicadas, 112. Academic Press, Inc., Orlando, FL, 1984. xv+243 pp. ISBN: 0-12-506980-4

Esto me lleva al segundo punto. Es FALSO que el mapa $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definido a través de $g(x) = x^3$ no es un difeomorfismo con respecto a cualquier estructura suave en $\mathbb{R}$ . Es cierto que $\mathbb{R}$ tiene una única estructura lisa (al igual que $S^3$ arriba), pero esto significa algo más débil de lo que usted afirma que significa. A saber, si $X$ y $Y$ son dos alisados cualesquiera de $\mathbb{R}$ entonces existe un difeomorfismo $X \rightarrow Y$ Sin embargo, este difeomorfismo podría no ser la identidad.

A continuación se muestra un esquema de cómo se construye la estructura lisa adecuada. Construir esta estructura suave es equivalente a construir un homeomorfismo $\psi:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\psi \circ g \circ \psi^{-1}$ es un mapa suave; la estructura suave deseada se obtiene entonces retirando la estructura suave estándar en $\mathbb{R}$ a través de $\psi$ . He aquí algunas observaciones sobre $g$ :

1. Tiene tres puntos fijos, a saber $-1$ y $0$ y $1$ .

2. En el intervalo $(-\infty,-1)$ , desplaza los puntos a la izquierda.

3. En el intervalo $(-1,0)$ , desplaza los puntos a la derecha.

4. En el intervalo $(0,1)$ , desplaza los puntos a la izquierda.

5. En el intervalo $(1,\infty)$ , desplaza los puntos a la derecha.

Es fácil construir un difeomorfismo $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ con las propiedades anteriores (ya que $0$ será un punto fijo atrayente de $h$ la derivada de $h$ en $0$ será un número $\alpha$ satisfaciendo $0 < \alpha < 1$ ). Pero entonces es un ejercicio fácil ver que $h$ será topológicamente conjugado a $g$ .

Answer 2

Me referiré a su primera pregunta: ¿Es siempre posible construir una estructura suave en M con respecto a ella $\phi$ será un difeomorfismo?

No siempre es posible, incluso con un cambio de estructura suave, como muestra este ejemplo en la dimensión 4. Supongamos que M es una superficie K3, una variedad de espín simplemente conectada con signo -16 y $b_2 = 22$ . Donaldson (Donaldson, Polynomial invariants for smooth four-manifolds, Topology 29 (1990)) demostró que existe un automorfismo $\phi$ de la forma de intersección que no se realiza mediante un autodifomeomorfismo de M. Según el trabajo de Freedman, se realiza mediante un autohomeomorfismo. La propiedad clave de $\phi$ es que invierte la orientación de $H_2^+(M)$ . (Se necesita un poco de trabajo para dar sentido a esta afirmación).

Por sí mismo, esto no responde a su pregunta porque usted quiere permitir diferentes estructuras suaves. Pero la prueba de Donaldson se basa en el hecho de que uno de sus invariantes polinómicos es distinto de cero para $M$ además del hecho de que el signo de este invariante está determinado por una orientación de $H_2^+(M)$ (la llamada orientación homológica). Estos ingredientes pueden ser igualmente suministrados por la teoría de Seiberg-Witten. El punto crucial es, pues, un teorema de Morgan-Szabó (Homotopy K3 surfaces and mod 2 Seiberg-Witten invariants, Mathematical Research Letters, 4, (1997) 17-21), en el sentido de que cualquier homología de 4 manifoldes lisos equivalente a la superficie K3 tiene un invariante de Seiberg-Witten impar (¡y por tanto no evanescente!). Así, el argumento de Donaldson se aplicaría a cualquier estructura suave en $M$ .

Es de suponer que también hay ejemplos de esto en dimensiones superiores; yo apostaría a que la respuesta es siempre negativa para las variedades simplemente conectadas de dimensión al menos 5, para las que se tiene una idea razonable de todas las estructuras suaves. Tal vez quieras echar un vistazo al viejo artículo de Kirby-Scharlemann, A curious category which equals TOP, que trata temas relacionados. Puede encontrarlo en Página web de Kirby .

Answer 3

Sólo una pequeña adición a la respuesta de Danny Ruberman: más ejemplos en el mismo sentido se discuten en Nota de David Gay "4-manifolds que son homeomorfos pero no difeomorfos".