Pasos para encontrar el límite de $\frac1{t\sqrt{t+1}} - \frac1t$ como $t\to0$

Question

Así que, hace unos 6 años que no tomo ningún tipo de curso de matemáticas, y 7 desde que tomé Cálculo. Recientemente, sin embargo, he estado tratando de volver a aprender Cálculo en mi tiempo libre.

He estado trabajando con mi viejo libro de texto de Cálculo, que ha ido bastante bien. Actualmente, sin embargo, estoy atascado en este problema:

$$\lim_{t\to0} \left(\frac{1}{t\sqrt{t+1}} - \frac1t\right)$$

Necesito encontrar sistemáticamente el límite como $t\to0$ . De inmediato, sé que tengo que manipularlo de tal manera que cuando conecte $0$ en para $t$ No tengo $0$ en el denominador.

Sé que la respuesta es $-\frac12$ pero estoy teniendo bastantes problemas para conseguirlo. ¿Podría alguien ayudarme a indicar la dirección correcta? No estoy pidiendo necesariamente que alguien lo resuelva, simplemente no estoy del todo seguro de cuáles deberían ser mis primeros pasos.

Hace tiempo que lo hice, así que por favor, manténgalo en el contexto de alguien que nunca ha trabajado con límites antes.

Answer 1

$$\frac{1}{t\sqrt{t+1}} - \frac{1}{t} = \frac{1-\sqrt{t+1}}{t\sqrt{t+1}} = \frac{1-\sqrt{t+1}}{t\sqrt{t+1}} \frac{1+\sqrt{t+1}}{1+\sqrt{t+1}}=\frac{-t}{(t\sqrt{t+1})(1+\sqrt{t+1})}=\frac{-1}{(\sqrt{t+1})(1+\sqrt{t+1})}$$

Answer 2

Si se reescribe la expresión (reduciendo todo al mismo denominador), se obtiene $$ \Delta(t)\stackrel{\text{def}}{=}\frac{1-\sqrt{t+1}}{t\sqrt{t+1}} = -\frac{1}{\sqrt{t+1}}\frac{\sqrt{t+1}-1}{t} $$ Ahora, ambos el numerador y el desnumerador van a $0$ con $t$ . Una forma de considerar esto, sin embargo, es observar que $\frac{1}{\sqrt{t+1}}$ va muy bien a $1$ cuando $t\to0$ Si tuvieras una manera de lidiar con el resto de $\frac{\sqrt{t+1}-1}{t}$ , se puede calcular el límite.

Si esto te suena, puedes intentar considerar la función $g:x\to\sqrt{x+1}$ y su derivada en $0$ (observando primero que está definida y es continua en $[-1,\infty)$ y diferenciable en $(-1,\infty)$ ).