Ayuda con esta prueba por inducción con desigualdades.

Question

Demuestre que la inducción matemática puede utilizarse para demostrar la desigualdad más fuerte $\frac{1}{2}\cdot ...\cdot \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{3n + 1}}$ para todos los enteros mayores que 1, lo que, junto con una verificación para el caso en que n = 1, establece la desigualdad más débil que originalmente tratamos de demostrar utilizando la inducción matemática.

Caso base: P(2) \begin{aligned} \frac{1}{2}\cdot\frac{2(2)-1}{2(2)} &< \frac{1}{\sqrt{3(2) + 1}}\\ \frac{3}{8} &< \frac{1}{\sqrt{7}}\\ \frac{1}{8} &< \frac{1}{3\sqrt{7}}\\ \end{aligned}

Esto es cierto ya que $8 > 3\sqrt{7}$ .

Hipótesis inductiva: $\frac{1}{2}\cdot ...\cdot \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$

En el paso inductivo, queremos demostrar que $\frac{1}{2}\cdot ...\cdot \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n+1}{2n+2} < \frac{1}{\sqrt{3n+4}}$ .

Utilizando la hipótesis inductiva, podemos llegar a lo siguiente:

\begin{aligned} \frac{1}{2}\cdot ...\cdot \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n+1}{2n+2} &< \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot \frac{2n+1}{2n+2}\\ &< \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot 1\\ \end{aligned}

No estoy seguro de cómo llegar a $< \frac{1}{\sqrt{3n+4}}$ de aquí porque sé que si el denominador se hiciera más grande al sumarle 3 entonces la desigualdad no seguiría...

Answer 1

Suponiendo que $n\ge0$ podemos demostrar que $$ \frac{2n+1}{2n+2}\le\frac{\sqrt{3n+1}}{\sqrt{3n+4}}\tag1 $$ elevando al cuadrado ambos lados para obtener el equivalente $$ \frac{4n^2+4n+1}{4n^2+8n+4}\le\frac{3n+1}{3n+4}\tag2 $$ y multiplicando en forma cruzada para obtener el equivalente $$ 12n^3+28n^2+19n+4\le12n^3+28n^2+20n+4\tag3 $$ lo cual es cierto ya que $n\ge0$ .

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Por lo tanto, si $$ \frac12\frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}\le\frac1{\sqrt{3n+1}}\tag4 $$ aplicando $(1)$ obtenemos $$ \begin{align} \frac12\frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}\color{#C00}{\frac{2n+1}{2n+2}} &\le\frac1{\sqrt{3n+1}}\color{#C00}{\frac{\sqrt{3n+1}}{\sqrt{3n+4}}}\\ &=\frac1{\sqrt{3n+4}}\tag5 \end{align} $$

Answer 2

Continuando donde lo dejaste. Tienes que mostrar $\large{\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot \frac{2n+1}{2n+2}<\frac{1}{\sqrt{3n+4}}}$ como raíces cuadradas definidas como números positivos podemos multiplicar ambos lados por $\sqrt{3n+1},$ y esto implica $$\frac{2n+1}{2n+2}< \frac{\sqrt{3n+1}}{\sqrt{3n+4}}\implies (2n+1)\sqrt{3n+4}<(2n+2)\sqrt{3n+1}\\ \implies (4n^2+4n+1)(3n+4)<(4n^2+8n+4)(3n+1)\\ \implies(4n^2+4n+1)\big(3n+4-3n-1)<(4n+3)(3n+1)\\ \implies 12n^2+12n+3<12n^2+13n+3 $$ lo cual es cierto. Por lo tanto, hemos terminado.

Answer 3

Tiene que demostrar que $$\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot \frac{2n+1}{2n+2}\\ < \frac{1}{\sqrt{3n+4}}\\$$ Eleva al cuadrado ambos lados y multiplica en cruz para obtener $$ (2n+1)^2 (3n+4)<(3n+1)(2n+2)^2$$

Multiplica y cancela los términos iguales para obtener $$ 12n^2+12n+3 <12n^2 +13n+3 $$

Lo cual es cierto para todos los enteros positivos.