Es el conjunto de los números primos "de la traducción"finita?

Question

La definición en el título probablemente requiere una explicación. Debo decir que la pregunta en sí misma fue una idea que tuve para alguien de pregrado proyecto de investigación, pero en los comienzos decidimos que sería mejor para él intentar adyacentes y menos preguntas técnicas. Así que no es de importancia para mi propio trabajo en sí, pero me interesaría saber si es que fácilmente se reduce a una conocida conjetura/hecho/contraejemplo en la teoría de números.

Disculpas si la pregunta es demasiado técnico/localizada/desagradable/privado de los esquemas.

Dado un subconjunto de $X$ de los números naturales $N$, y dado $n \in$ N, podemos escribir $X-$ n para atrás traducir de $X$, es decir, el conjunto {$\{x-n : x\X\}$}.

Decimos que $X$ es la traducción-finito si se tiene la siguiente propiedad: para cada estrictamente creciente secuencia de n₁ < n₂ < en $N$, existe k (posiblemente dependiendo de la secuencia en la que

$(X-n_1) \cap (X-n_2) \cap \dots\cap (X-n_k)$

es finito o vacío.

Así, cada conjunto finito es trivialmente traducción-finito: y si los elementos de $X$ de una secuencia en la que la diferencia entre los términos sucesivos tiende a infinito, entonces $X$ es la traducción-finito y siempre podemos tomar k=2. Además:

• si $$ X contiene una infinita progresión aritmética, o si se ha positiva (superior) de la densidad de Banach, entonces NO es la traducción finito;

• existen traducción-finito establece que, cuando se enumeran como estrictamente creciente secuencias, crecen más lentamente que cualquier más rápido que la línea de la función.

• existen traducción-finito de conjuntos que contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

Estos resultlets sugieren la pregunta del título, pero no sé lo suficiente acerca de la teoría de los números para saber si es una pregunta razonable. Tenga en cuenta que si, en la definición, vamos a arreglar k primero (es decir, existe k tal que para cualquier secuencia de (n_j)...) entonces nos quedaría algo relacionado con Hardy-Littlewood conjeturas; pero tenía la esperanza de que esto podría no ser necesario para resolver la presente cuestión.

EDITAR (2 Nov) ha sido señaló a continuación que la cuestión se reduce, en cierto sentido, a un par de conocidos, duro, problemas abiertos. Más precisamente: si la respuesta a la pregunta es sí, entonces nos refutar la de Hardy-Littlewood, k-tuplas conjetura; si la respuesta es no, entonces hay infinitamente muchos el primer lagunas delimitada por algunos absoluta constante, y se cree que esto es más allá de las técnicas actuales, a menos que uno asume la Eliott-Halberstam conjetura.

Añadido en 2013: Stefan Kohl señala que el último es Yitang Zhang famoso de los últimos resultado. Sin embargo, como Se Sawin señala en los comentarios, una respuesta negativa a la pregunta principal implicaría hay 3-tupla configuraciones que ocurren infinitamente a menudo en los números primos, y (ver thelink en los comentarios) este es el pensamiento para estar fuera del alcance incluso si asumimos que la EH conjetura sostiene.

Answer 1

Como usted menciona, esto está relacionado con el de Hardy-Littlewood, k-tupla conjetura. En particular, si su conjetura es verdadera, entonces los números primos no son de la traducción-finito. De hecho, es posible encontrar un aumento de la secuencia de n₁ < n₂ < n₃ < ⋯ , de modo que para cada k, la primera k n_is una forma admisible k-tupla. (Por ejemplo, creo que n_i = (i+1)! obras.) Luego, por la k-tupla es una conjetura, una infinidad de tales primer constelaciones existen y por lo tanto para todo k, (X-n₁) ∩ (X-n₂) ∩ ⋯ ∩ (X-n_k) es infinito. (Aquí y más abajo, X es el conjunto de números primos.)

Sin embargo, tal vez podemos probar que los números primos no son la traducción finito por otros medios. Por desgracia, la tecnología no es lo suficientemente bueno para hacer eso. Demostrando que los números primos no son la traducción finito, en particular, demostrar que existen n₁ < n₂ tal que (X-n₁) ∩ (X-n₂) es infinito. En particular, esto implica que la brecha de n₂-n₁ se produce infinitamente a menudo en los números primos, y así p_n+1-p_n es constante infinitamente a menudo. (La notación estándar p_n indica el n^th prime.)

La mejor conocida límite superior para el tamaño de pequeñas lagunas en los números primos es que lim inf_n→∞ (p_n+1-p_n)/log p_n = 0. Esto fue establecido por Goldston y Yildirim alrededor de 2003 y la prueba más tarde fue simplificado. Al mejor de mi conocimiento, la mejor condicional resultado es por los mismos autores muestran que, dada la Elliott-Halberstam conjetura, el primer gap es infinitamente a menudo en la mayoría de los 20 o así.