Dar una demostración directa del teorema de Tychonov: Si $(X_n, d_n)$ es compacto, entonces $\left(\prod_{n\geq1} X_n, d\right)$ es compacto.
Respuesta
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Dejemos que $d_n'=1/(1+d_n)$ . Las métricas $d$ y $d'$ generar la misma topología. Definir una métrica en el espacio del producto por $d^*\big((x_n),(y_n)\big)=\sum_n 1/2^n d_n'(x_n,y_n)$ . Se puede comprobar que $d^*$ efectivamente metriza la topología del producto. Así que el producto contable es metrizable y la compacidad y la compacidad secuencial coinciden.
Demostramos que el producto es secuencialmente compacto. Sea $(x_n)$ sea una secuencia de puntos, es decir, secuencias, en el espacio del producto. Sea $(y_n^1)$ sea una subsecuencia que converja en la primera coordenada, $(y_n^2)$ otra subsecuencia que converge en la segunda coordenada y, por construcción, también en la primera. Continuando así, obtenemos una secuencia $\big((y_n^1),(y_n^2),(y_n^3),\ldots\big)$ de subsecciones. Construimos ahora una subsecuencia convergente de todas estas subsecuencias como $(y_1^1,y_2^2,y_3^3,\ldots)$ . Esta secuencia converge en todas las coordenadas del producto y, por tanto, en la topología del producto.
