Me gustaría saber cómo demostrar que el supremum $$\sup_S\frac{(x-y)^2 + (t-s)^2}{(|x-y|^2 + |t-s|)^{\epsilon}}$$ es menor que el infinito, donde $0<\epsilon \leq 1$ y $$S = \{ (x,t), (y,s) \in [0,2\pi] \times[0,T] \mid (x,t) \neq (y,s)\}$$ donde $0 < T \leq 1$ . ¿Qué puedo utilizar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tenemos \begin{align} \frac{(x-y)^2+(t-s)^2}{((x-y)^2+|t-s|)^{\varepsilon}}&\leq ((x-y)^2+|t-s|)^{1-\varepsilon}+\frac{|t-s|(1+|t-s|)}{((x-y)^2+|t-s|)^{\varepsilon}}\\ &\leq ((x-y)^2+|t-s|)^{1-\varepsilon}+|t-s|^{1-\varepsilon}(1+T), \end{align} y utilizando el hecho de que $s\mapsto x^s$ aumenta para $s\in (0,1)$ obtenemos $$\sup_S\frac{(x-y)^2+(t-s)^2}{((x-y)^2+|t-s|)^{\varepsilon}}\leq (4\pi^2+T^2)^{1-\varepsilon}+(1+T)T^{1-\varepsilon}.$$
