Hace $|\Bbb R^I| = |\Bbb R|$ implican que $I$ es (como máximo) contable?

Question

$\newcommand{\R}{\Bbb R}$ Esta pregunta está inspirada en esta pregunta donde el OP preguntaba por la cardinalidad de $\Bbb R^I$ para diferentes $I$ .

Como en mi respuesta, para $I$ finito o contable, tenemos que $|\R^I| = |\R|$ . Para $I = \R$ tenemos $|\R^I| = |2^\R| > |\R|.$

Sin embargo, para $I$ con cardinalidad estrictamente entre $|\Bbb N|$ y $|\R|$ ¿podemos decir algo?

Soy consciente de que $\sf{CH}$ afirma que no existe tal conjunto. Por ahora, supongamos $\sf{AC}$ o al menos la hipótesis de que dos cardinalidades cualesquiera son comparables. ¿Acaso $|\R^I| = |\R|$ entonces implica que $|I| \le |\Bbb N|$ ?

Mi trabajo hasta ahora ha demostrado que $|\R^I| = |R| \implies |I| < |\R|$ .

Answer 1

Supongamos que $|I| = \aleph_1$ donde $\aleph_0 < \aleph_1 < \mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$ que se puede mantener en algunos modelos de la teoría de conjuntos.

Entonces $2^{|I|}$ es al menos $2^{\aleph_0}$ , pero podrían ser más o iguales, dependiendo del modelo de teoría de conjuntos que sea (por ejemplo, MA (axioma de Martin) implicará que son iguales). Véase el teorema de Easton para otras opciones.

Así que en resumen: ni siquiera se puede asegurar que haya se son cardinalidades intermedias, pero si hay no podemos decir más que que es al menos $\mathfrak{c}$ . Así que la respuesta corta a la pregunta del título es no no es necesario.

Answer 2

Incluso bajo $\mathrm{GCH}$ , si $\lambda$ es un cardenal con $\text{cf } \mathfrak c \le \lambda \lt \mathfrak c$ , usted tiene $\mathfrak c^\lambda = \mathfrak c^+$ .

Véase Jech - Teoría de conjuntos, teorema 5.15.