Modelo Ornstein-Uhlenbeck con intervalos de tiempo irregulares

Question

Tengo datos de la forma

Time t  Price x(t)
0       80
21      82
24      82.3
32      81.5
...     ...

La cuestión es que los intervalos de tiempo son muy irregulares. Supongo que un Proceso Ornstein-Uhlenbeck encajaría bien: $$ dx(t)=(x(t))dt+dW(t) $$ El problema para estimar los parámetros es la irregularidad de los intervalos de tiempo. Una fórmula de actualización exacta para el tiempo discreto sería: $$ x(t+\Delta t)=x(t)\exp(-\Delta t)+\mu (1-exp(-\Delta t))+\sigma \sqrt{\frac{1-exp(-2\Delta t)} {2}} $$ Ahora bien, la fórmula anterior es autorregresiva, por lo que si $\Delta t$ sería constante, podría calcular muy fácilmente los parámetros utilizando la estimación OLS. Pero no tengo ni idea de cómo resolver el problema de los intervalos de tiempo irregulares. ¿Quizás alguien tenga una idea?

Answer 1

Dado que la densidad de transición condicional de un proceso OU se conoce explícitamente y es gaussiana, yo sugeriría utilizar un estimador ML. Dadas las observaciones $X_0,\dots ,X_n$ en los puntos temporales $t_0, \dots, t_n$ el log-MLE es \begin{equation} \operatorname{argmin}_\theta \sum_{i=1}^n \frac{X_{i} - m(X_{i-1}, t_i - t_{i-1})}{2 s^2(t_i-t_{i-1})} + \frac{1}{2}\log s^2(t_i - t_{i-1}), \end{equation} con \begin{equation} m(x, t) = \mathbb E [X_t | X_0 =x] = x\exp(-\theta t) + \mu(1-\exp(-\theta t)) \end{equation} y $s(t) = \sigma \sqrt{\frac{1-exp(-2\theta t)} {2\theta}}$ .

Tal vez le resulte útil este libro: S. Iacus, "Simulación e inferencia para ecuaciones diferenciales estocásticas".