Dejemos que $p,q$ sea un par de enteros positivos coprimos. Sea $S(N,p,q)$ sea el número de soluciones enteras $(x,y)$ de $N=p x^2+q y^2$ tal que $x$ y $y$ son coprimos. Si $(p,q)=(1,1)$ se deduce del teorema de los dos cuadrados de Fermat que $S(N,1,1)$ no tiene límite superior ya que $N\to\infty$ . ¿Qué pasará si $(p,q)\neq(1,1)$ , es decir, es la secuencia $\{S(N,p,q)\}_{N\geq1}$ ¿todavía sin límites? ¿Existe $(p,q)$ tal que $\{S(N,p,q)\}_{N\geq1}$ es una secuencia acotada?
Respuesta
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Dejemos que $F$ sea una forma cuadrática binaria definida positiva. Para un número positivo $Z$ poner $N_F(Z)$ para el número de pares de enteros $(x,y)$ tal que $F(x,y) \leq Z$ y que $R_F(Z)$ denotan el número de enteros $n \leq Z$ tal que la ecuación $F(x,y) = n$ tiene soluciones en números enteros $x$ y $y$ . Es fácil ver desde un argumento de geometría de los números que
$$\displaystyle N_F(Z) \sim A_F Z$$
para un número positivo $A_F$ y se sabe (primero por Landau en el caso $F(x,y) = x^2 + y^2$ y en general por la tesis de uno de sus alumnos) que existe un número positivo $C_F$ tal que
$$\displaystyle R_F(Z) \sim C_F Z (\log Z)^{-1/2}.$$
De estas fórmulas asintóticas se puede concluir, en su notación, que $S(n,p,q)$ se comporta como $\sqrt{\log n}$ en promedio; en particular, no tiene límites.
