Dado un grupo finito soluble $G$ demostrar que un subgrupo normal mínimo $H$ es un $p$ -grupo

Question

Dado un grupo finito soluble $G$ y un subgrupo normal mínimo $H$ , demuestre que $H$ es un $p$ -subgrupo para algún primo $p$ .

Mi intento:

Estoy tratando de escribir esta prueba sin utilizar el término "subgrupo característico". Soy consciente de que al demostrar que $p$ -subgrupo de $M$ es un subgrupo característico terminará la prueba.

Dejemos que $p$ sea un número primo tal que $p$ es un divisor del orden de $M$ . Por el teorema de Sylow, existe un $p$ -subgrupo de $M$ que se llame $S$ .

Me gustaría demostrar que cada elemento de $M$ es de orden $p^n$ para algunos $n \in \mathbb{N}$ . dejar $s\in S, \ g\in G: g^{-1}sg \in M$ , ya que $S\le M$ y $M$ es normal en $G$ . pero por qué y cómo puedo demostrarlo $=g^{-1}sg$ es de orden $p^m$ para algunos $m\in \mathbb{N}: m\le n$ .

Answer 1

Desde $G$ es solucionable, $H$ es resoluble, por lo que su serie derivada debe terminar finalmente en $1$ y como $H$ es no trivial tenemos $H' \lt H$ . Pero $H' \text { char } H \unlhd G$ Así que $H' \unlhd G$ . Pero $H$ es un mínimo normal, por lo que $H'=1$ Es decir $H$ es abeliana. Como $H$ es finito podemos encontrar un elemento en $H$ de orden $p$ un primo (¡Cauchy!). Como $H$ es abeliano el conjunto $S=\{h \in H : h^p=1\}$ es de hecho un subgrupo característico (no trivial) de $H$ y por lo tanto es normal en $G$ . Así que debemos tener $H=S$ y por lo tanto $H$ es un abeliano elemental $p$ -grupo.