1) El libro de Silverman mencionado anteriormente es sin duda una muy buena referencia. Para los primeros pasos también puedes considerar "Rational points on elliptic curves" de Silverman-Tate. Como ya usas Hartshorne, asumo que estás familiarizado con las notaciones básicas en geometría algebraica y teoría de esquemas. Por lo tanto, es posible que desee cambiar a las referencias sobre las variedades abelianas generales en algún momento. (Las curvas elípticas son variedades abelianas de dimensión 1 .) Para las variedades abelianas sugiero el artículo de Milne en el libro de Storrs "Arithmetic geometry" y el maravilloso "prebook" sobre variedades abelianas escrito por Moonen y van der Geer. Que yo sepa, este pre-libro aún no se ha publicado, pero se puede descargar en la página web de Ben Moonen.
2) Esto es cierto, como se ha mencionado anteriormente. Una definición alternativa: Una curva elíptica es una variedad abeliana de dimensión 1 . Aquí una variedad abeliana sobre K es un esquema de grupo propio (geométrico) sobre K .
3) Puedo dar algunas informaciones básicas sobre los grupos de Mordell-Weil: Sea K sea un campo y E/K una curva elíptica. Para n coprima a char(K) tienes E(¯K)[n]≅(Z/n)2 Por lo tanto, usted sabe que E(K)[n] es siempre isomorfo a un subgrupo de (Z/n)2 . Si char(K)=p>0 entonces hay un número entero f∈{0,1} tal que E(¯K)[pi]≅(Z/pi)f (y en consecuencia E(K)[pi] es isomorfo a un subgrupo de (Z/pi)f ) para todos los i≥1 .
Si K está generado finitamente (sobre su campo primo), entonces se sabe que E(K) es una entidad finitamente generada Z -por el llamado teorema de Mordell-Weil-Lang-Neron. (Véase el artículo de Brian Conrad "Chows K/k -rastreo y K/k -y el teorema de Lang-Neron (mediante esquemas)").
Si K es finito con |K|=q entonces claramente E(K) es finito. Además de la información anterior, se tiene el límite de Hasse-Weil sobre el tamaño de E(K) : ||E(K)|−q−1|≤2√q.
4) No estoy seguro de si interpreto esta pregunta de forma correcta. Pero, por supuesto, puedes tomar tu curva elíptica favorita E en F5 dado por una ecuación explícita de Weierstrass, y utilizar un ordenador para hacer una lista de los puntos en E(F5) . (Sólo hay que comprobar cuál de los 31 puntos en P2(F5) mentir E .)