Curvas elípticas sobre campos finitos

Question

Tengo preguntas básicas sobre las curvas elípticas sobre campos finitos.

1. ¿Dónde encontrar referencias generales? Hartshorne, por ejemplo, restringe a campos de tierra algebraicamente cerrados.

2. Sobre un campo arbitrario $K$ ¿es la definición correcta de una curva elíptica una curva lisa propia de género 1 con una elección de $K$ -¿punto racional?

3. ¿Qué se sabe de la estructura del grupo de $K$ -puntos racionales cuando $K$ es finito? En concreto, ¿en qué medida depende de la curva?

4. ¿Hay ejemplos sencillos en los que se puedan ver explícitamente todos los $K$ -puntos racionales, $K$ ¿Finito?

Answer 1

Curvas elípticas $E$ y $E'$ sobre un campo finito $K$ son $K$ -isógena si y sólo si los órdenes de $E(K)$ y $E'(K)$ coinciden. Sin embargo, puede ocurrir que los grupos $E(K)$ y $E'(K)$ tienen el mismo orden (e incluso son isomorfas) pero $E$ y $E'$ no son isomorfos sobre $K$ . Peor aún, existe tal $K$ y no isomorfo sobre $K$ curvas elípticas $E$ y $E'$ de manera que si $\bar{K}$ es un cierre algebraico de $K$ entonces los módulos de Galois $E(\bar{K})$ y $E'(\bar{K})$ son isomorfas. En particular, si $L$ es un campo finito arbitrario que contiene $K$ entonces los grupos $E(L)$ y $E'(L)$ son isomorfas. (Por supuesto, $E(K)$ y $E'(K)$ son los subgrupos de invariantes de Galois en $E(\bar{K})$ y $E'(\bar{K})$ respectivamente). Véase arXiv:0711.1615 [math.AG].

Una descripción explícita de todos los grupos que pueden realizarse como $E(K)$ (para un determinado $K$ ) fue realizada por Misha Tsfasman (In: Teoría de los números y sus aplicaciones, Tiflis, 1985, 286--287; véase también la Secc. 3.3.15 del libro Algebraic geometric codes: basic notions de Tsfasman, Vladut y Nogin, AMS 2007). Véanse también los trabajos de René Schoof (J. Combinatorial Th. A 46 (1987), 183--211), Felipe Voloch (Bull. SMF 116 (1988), 455--458) y Sergey Rybakov (Centr. Eur. J. Math. 8 (2010), 282--288).

Answer 2

Como ha dicho Xandi Tuni, la mayoría de las respuestas a sus preguntas se pueden encontrar en las referencias estándar.

1. Silverman, el libro de Knapp sobre curvas elípticas, el libro de Milne, muchos más (sólo hay que buscar en Google curvas elípticas).

2. Sí

3. El número de puntos está limitado por el límite de Hasse. Dentro de ese límite, el número exacto depende mucho de la propia curva elíptica. La página web $l^n$ -torsión para prime $l\neq \text{char }K$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/l^n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/l^n\mathbb{Z}$ sobre el cierre algebraico de $K$ . Para $p= \text{char }K$ El $p$ -La torsión primaria sobre el cierre algebraico es cíclica (entonces $E$ se llama ordinario) o 0 (entonces $E$ se llama supersingular). Por lo tanto, esto también depende de la curva.

4. No sé a qué se refiere con esa pregunta. Siempre se pueden calcular todos los $K$ -puntos racionales a mano, ya que sólo hay un número finito de valores que hay que probar.

Answer 3

1) El libro de Silverman mencionado anteriormente es sin duda una muy buena referencia. Para los primeros pasos también puedes considerar "Rational points on elliptic curves" de Silverman-Tate. Como ya usas Hartshorne, asumo que estás familiarizado con las notaciones básicas en geometría algebraica y teoría de esquemas. Por lo tanto, es posible que desee cambiar a las referencias sobre las variedades abelianas generales en algún momento. (Las curvas elípticas son variedades abelianas de dimensión $1$ .) Para las variedades abelianas sugiero el artículo de Milne en el libro de Storrs "Arithmetic geometry" y el maravilloso "prebook" sobre variedades abelianas escrito por Moonen y van der Geer. Que yo sepa, este pre-libro aún no se ha publicado, pero se puede descargar en la página web de Ben Moonen.

2) Esto es cierto, como se ha mencionado anteriormente. Una definición alternativa: Una curva elíptica es una variedad abeliana de dimensión $1$ . Aquí una variedad abeliana sobre $K$ es un esquema de grupo propio (geométrico) sobre $K$ .

3) Puedo dar algunas informaciones básicas sobre los grupos de Mordell-Weil: Sea $K$ sea un campo y $E/K$ una curva elíptica. Para $n$ coprima a $char(K)$ tienes $E(\overline{K})[n]\cong ({\mathbb Z}/n)^2$ Por lo tanto, usted sabe que $E(K)[n]$ es siempre isomorfo a un subgrupo de $({\mathbb Z}/n)^2$ . Si $char(K)=p>0$ entonces hay un número entero $f\in\{0, 1\}$ tal que $E(\overline{K})[p^i]\cong ({\mathbb Z}/p^i)^f$ (y en consecuencia $E(K)[p^i]$ es isomorfo a un subgrupo de $({\mathbb Z}/p^i)^f$ ) para todos los $i\ge 1$ .

Si $K$ está generado finitamente (sobre su campo primo), entonces se sabe que $E(K)$ es una entidad finitamente generada ${\mathbb Z}$ -por el llamado teorema de Mordell-Weil-Lang-Neron. (Véase el artículo de Brian Conrad "Chows $K/k$ -rastreo y $K/k$ -y el teorema de Lang-Neron (mediante esquemas)").

Si $K$ es finito con $|K|=q$ entonces claramente $E(K)$ es finito. Además de la información anterior, se tiene el límite de Hasse-Weil sobre el tamaño de $E(K)$ : $$||E(K)|-q-1|\le 2\sqrt{q}.$$

4) No estoy seguro de si interpreto esta pregunta de forma correcta. Pero, por supuesto, puedes tomar tu curva elíptica favorita $E$ en ${\mathbb F}_5$ dado por una ecuación explícita de Weierstrass, y utilizar un ordenador para hacer una lista de los puntos en $E({\mathbb F}_5)$ . (Sólo hay que comprobar cuál de los $31$ puntos en ${\mathbb P}_2({\mathbb F}_5)$ mentir $E$ .)

Answer 4

Estoy completamente de acuerdo con las respuestas anteriores. Sólo dos observaciones...

• Para la pregunta 3, si $K$ es finito de cardinalidad $q$ entonces $E(K)$ es isomorfo a $\mathbf Z/n\mathbf Z\times\mathbf Z/m\mathbf Z$ , donde $n$ divide gcd $(q-1,m)$ .
• En cuanto a tu última pregunta, aquí tienes un ejemplo sencillo en el que puedes "ver" explícitamente todos los $K$ -puntos racionales sin cálculos directos; espero que te interese. Consideremos la curva elíptica $$E:Y^2=X^3+1$$ definido sobre el campo finito $K=\mathbf F_p$ , donde $p=3n+2$ es un número primo. Entonces, existe una biyección $\varphi:K\to E(K)-\lbrace O\rbrace$ (donde $O$ es el punto en el infinito) dado por $$\varphi(t)=\left((t^2-1)^{2n+1},t\right).$$