Probando $\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}(\zeta(2k)-1)=\dfrac{\pi\coth(\pi)-2}{2}$

Question

Desde hace un tiempo estoy atascado en probar lo siguiente:

$$\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}(\zeta(2k)-1)=\dfrac{\pi\coth(\pi)-2}{2} $$

He estado trabajando en probar esto durante bastante tiempo pero no obtuve ningún resultado satisfactorio. Me pregunto si se puede demostrar esto utilizando la integración de contornos y el teorema del residuo, o tal vez las series o integrales de Fourier. Estoy más interesado en una prueba que haga uso de la integración de contornos y las integrales.

Sin embargo, cualquier enfoque es bienvenido. Busco una respuesta completa y detallada.

Gracias de antemano.

Answer 1

Utilizando la serie de Taylor para $\coth(x)$ y la relación entre los valores pares de la Zeta de Riemann y los Números de Bernoulli se obtiene la siguiente serie $$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{ 2^{2k} B_{2k} z^{2k-1}}{(2k)!} = \coth(z) $$ $$ \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k+1} \zeta(2k) z^{2k} = \coth(\pi z) \frac{\pi z}{2} $$

Una reordenación básica logrará su serie.