¿En qué me he equivocado al resolver este problema de límites?

Question

Problema : Evaluar, si el límite existe: $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos2x)}}{x}$$

Mi intento :

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos2x)}}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{2}(2\sin^2 x)}}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{\sin^2 x}}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin\ x}{x}$

Dado que existe una fórmula estándar para $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin\ x}{x}$ este límite existe y es igual a 1.

Mi problema : La respuesta dada en mi libro es que el límite no existe. Hay una pista al final del problema que pide utilizar el concepto de valor absoluto. No puedo entender por qué mi método no es correcto y por cierto no hay valor absoluto en la expresión.

Answer 1

Sugerencia : Tenga en cuenta que $\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ .

Apéndice

Por definición
$$|x|=\begin{cases}x,&x\ge0 \\ -x,& x<0.\end{cases}$$ Con esta definición es sencillo demostrar que $|x| = \sqrt{x^2}$ para cualquier número real $x$ :

Supongamos que $n\ge0$ . Por definición $\sqrt n$ es la raíz principal de $n$ . Es decir, $\sqrt n\ge0$ y $(\sqrt n)^2=n$ . Por lo tanto, si $x\ge0$ entonces $\sqrt{x^2} = x = |x|$ . Si $x<0$ entonces $-x>0$ y así $\sqrt{x^2} = -x = |x|$ .