Esta pregunta es vaga y podría estar cerrada, pero también siento que es increíblemente importante para las matemáticas y la forma en que abordamos los problemas. Especialmente los problemas difíciles. En concreto, el concepto de información.
Uno de los principios fundamentales de las matemáticas es que "no hay almuerzo gratis"; si una prueba pretende demostrar algo, pero no utiliza información/pasos cruciales, entonces hay un error en alguna parte.
Por eso solía creer que, aunque las diferentes pruebas de un resultado pudieran parecer diferentes, todas eran esencialmente iguales en algún nivel: todas encontraban las partes cruciales y simplemente las combinaban de forma diferente.
Sin embargo, cada vez da más la sensación de que las pruebas son fundamentalmente diferentes. Uno puede usar los axiomas A y B de ZFC, y otro los axiomas B y C de ZFC, mientras que A no se sigue de B y C.
¿Hay alguna forma de que este concepto sea más riguroso y sea verdadero o falso en ese sentido encapsulado?
Si las pruebas son las mismas en algún sentido informativo, entonces siempre empezamos de la misma manera recogiendo las partes necesarias hasta que hierve. Pero si no lo son, esto justifica que se desprecie mucho más el trabajo de los demás como posiblemente innecesario.
