Mostrando la continuidad de $\operatorname{Id} : (C^0([0,1], L^\infty) \to (C^0([0,1], L^1)$ , pregunta de la prueba

Question

Dejemos que $X = C^0([0,1]$ entonces $\operatorname{Id} : (X, L^\infty) \to (X, L^1)$ es continua.

La prueba que he visto va así:

$$||f||_{L^1} = \int_0 ^1 |f(x)| dx \leq \int_0^1 \sup\limits_{x \in [0,1]}|f(x)| = ||f||_{L^\infty}.$$

Así que tenemos $|| f -g ||_{L^\infty} \to 0 \implies || f - g||_{L^1} \to 0$ .

No veo por qué esto implica continuidad en el sentido topológico. A mi modo de ver, tendríamos continuidad de $Id : (X, L^1) \to (X, L^\infty)$ .

Dejemos que $B_{\epsilon}^{L^i}(g)$ , $i = 1, \infty$ sea la bola abierta de radio $\epsilon$ centrado en $g$ con respecto a la métrica $L^1$ o $L^\infty$ .
Dado cualquier $\epsilon > 0$ y cualquier $f \in B_{\epsilon}^{L^\infty}(0)$ podemos encontrar $\delta > 0$ tal que $f \in B_{\delta}^{L^\infty}(f) \subset B_{\epsilon}^{L^\infty}(0)$ por lo que en particular tenemos $f \in B_{\delta}^{L^1}(f) \subset B_{\delta}^{L^\infty}(f) \subset B_{\epsilon}^{L^\infty}(0)$ . Lo que significa que $B_{\epsilon}^{L^\infty}(0)$ también está abierto en $(X, L^1)$ .

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Para demostrar la continuidad en un punto $f_0$ tienes que demostrar que dado $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que $\{f: ||f-f_0||_1 <\epsilon\}$ contiene $\{f: ||f-f_0||_{\infty} <\delta\}$ . Sólo toma $\delta = \epsilon$ y observe que $||f-f_0||_{\infty} <\epsilon$ implica $||f-f_0||_1 <\epsilon$ desde $||f-f_0||_1 \leq ||f-f_0||_{\infty}$