Análisis real, problema de Folland 6.2.17 Dual de $L^p$

Question

Teorema 6.14 - Sea $p$ y $q$ sean exponentes conjugados. Supongamos que $g$ es una función medible en $X$ tal que $fg\in L^1$ para todos $f$ en el espacio $\sum$ de funciones simples que desaparecen fuera de un conjunto de medida finita, y la cantidad $$M_q(g) = \sup\{|\int fg|:f \in \sum \ \text{and} \ \|f\|_{p} =1\}$$ es finito. Además, supongamos que $S_g = \{x: g(x)\neq 0\}$ es $\sigma$ -finito o que $\mu$ es semifinita. Entonces $g\in L^q$ y $M_q(g) = \|g\|_{q}$

Problema 6.2.17 - Con la notación del teorema 6.14, si $\mu$ es semifinita, $q < \infty$ y $M_q(g) < \infty$ entonces $\{x: |g(x)| > \epsilon \}$ tiene medida finita para todo $\epsilon > 0$ tiene medida finita para todo $\epsilon > 0$ y por lo tanto $S_g$ es $\sigma$ -finito.

Como se puede ver por la plétora de posts que tengo en $L^p$ espacios Me cuesta mucho entender estos conceptos y resolver estos problemas. Cualquier consejo o sugerencia es muy apreciado.

Answer 1

Yo también he estado luchando con este problema, pero aquí está mi intento basado principalmente en la prueba del Teorema 6.14. Hay un par de detalles en los que estoy un poco dudoso, así que por favor, ¡dime si algo está mal!

Dejemos que $g \in L^q$ y supongamos $M_q(g)= \sup\{|∫fg|:f∈∑ \text{and} ||f||_p=1\} < \infty.$ Para mayor comodidad, supongamos que $M_q(g)= m$ .

Definir $G_\epsilon := \{ x : |g(x)| > \epsilon\}$ .
Tenga en cuenta que $S_g$ es $\sigma$ -finito si cada $G_\epsilon$ tiene medida finita ya que $S_g = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty G_{\frac{1}{n}}$ .

Supongamos que hay un $\epsilon > 0$ tal que $\mu(G_\epsilon) = \infty$ .
Dado que asumimos $\mu$ es una medida semifinita, existe un $F \in \mathcal{M}$ con $F \subseteq G_\epsilon$ con $0 < \mu(F) < \infty$ .

Set $c := \mu(F)^{-1/p}$ y $f := c(\overline{sgn(g)})\mathbf{1}_F$ .

$\| f \|_{L^p} = (\int |f|^pd\mu)^{\frac{1}{p}} = (\int|c|^p |\mathbf{1}_F|^p d\mu)^\frac{1}{p} = c\mu(F)^{\frac{1}{p}} = 1 $

Esto significa que $f \in \Sigma$ desde $f$ restringido a $F^c$ es $0$ .

Ahora, a partir de un ejercicio anterior que tuvimos en Folland (¿14 del capítulo 1?), ya que $\mu$ es semifinita, para cualquier $N > 0$ , $\exists K \subset G_\epsilon$ tal que $N < \mu(K) < \infty$ . Podemos simplemente volver a elegir $F$ para que sea $K$ . (Es posible que podamos afirmar esto sólo para $F$ sin necesidad de volver a elegir, pero tengo que pensarlo más. ¿Alguna idea?)

Dejemos que $N = (\frac{m}{\epsilon})^q$ para que $\frac{m}{\epsilon} < \mu(F)^{\frac{1}{q}}$ .

Así que:

$m = \epsilon(\frac{m}{\epsilon}) < \epsilon\mu(F) = c\epsilon\mu(F) = |\int_F c\epsilon| < |\int_F c|g|\mathbf{1}_F|$

(Donde lo último se mantiene porque $F \subset G_\epsilon$ )

Continuando,

$|\int_F c|g|\mathbf{1}_F| = \big|\int_F c(\overline{sgn(g)})\mathbf{1}_F sgn(g)|g|\big| = |\int_F fg| \leq |\int fg| \leq m < \infty$ .

Pero esto da $m < m$ , lo cual es una contradicción.

Así, $G_\epsilon$ debe tener una medida finita, y hemos terminado.