¿Es interesante el problema del subespacio invariante?

Question

Hay un comentario divertido en el libro de Análisis Funcional de Peter Lax. Después de una breve descripción de la Problema del subespacio invariante dice (parafraseando) "...esta cuestión sigue abierta. También es una cuestión abierta si esta pregunta es interesante o no".

Para evitar largas discusiones que impliquen puntos de vista subjetivos sobre lo que hace que las matemáticas sean interesantes, simplemente me gustaría saber si hay ejemplos de artículos matemáticos por ahí que empiecen con algo como: "Supongamos que el problema del subespacio invariante tiene una respuesta positiva..."

Por supuesto, los trabajos que tratan sobre el propio ISP no cuentan.

Answer 1

1. El problema del subespacio invariante para los espacios de Banach fue resuelto en negativo para los espacios de Banach por Per Enflo y los contraejemplos para muchos espacios clásicos fueron construidos por Charles Read. El problema está abierto para los espacios de Banach reflexivos. Por otra parte, S. Argyros y R. Haydon han construido recientemente un espacio de Banach $X$ s.t. $X^*$ es isomorfo a $\ell_1$ y todo operador lineal acotado en $X$ es la suma de un escalar por la identidad más un operador compacto, por lo que el problema del subespacio invariante tiene una solución positiva en $X$ .

2. El problema del subespacio invariante ha dado lugar a una gran cantidad de matemáticas interesantes. Normalmente, cuando se demuestra un resultado positivo, surgen muchas más cosas, como un cálculo funcional para operadores. Véanse, por ejemplo, los recientes trabajos de mi colega C. Pearcy y sus colaboradores.

3. En los casos en que el ISP tiene una solución positiva para una clase de operadores, puede haber una teoría de la estructura para los operadores. Existe, por ejemplo, el clásico teorema de estructura de J. Ringrose para operadores compactos en un espacio de Banach. Se trata de un teorema hermoso y útil que, por cierto, estoy utilizando actualmente con T. Figiel y A. Szankowski para relacionar la fórmula de la traza de Lidskii con el teorema de J. Erdos en espacios de Banach.

4. ¿Por qué es interesante la conjetura de los primos gemelos?

Answer 2

La mayoría de los teoremas de estructura de las matrices complejas pueden expresarse únicamente en términos de subespacios invariantes. Por ejemplo, la afirmación de que toda matriz compleja nxn es unitariamente equivalente a una matriz triangular superior (de la que se deduce fácilmente el teorema espectral de las matrices normales) es equivalente a la existencia de una cadena de subespacios invariantes que tienen uno de cada dimensión posible de 0 a n. Una matriz es similar a un bloque de Jordan simple si y sólo si su retículo de subespacios invariantes es una cadena; esto permite expresar la forma de Jordan en términos de subespacios invariantes. Si se mira a los espacios de Hilbert de dimensión infinita, los subespacios de Hilbert son subespacios lineales cerrados, y el análogo natural de la matriz es un operador lineal acotado. Si se quiere extender la teoría de la estructura finito-dimensional a la situación infinito-dimesnional el primera pregunta natural preguntar es si cada operador tiene un subespacio invariante no trivial (cerrado y lineal). Este problema fue popularizado por Paul Halmos en la década de 1970 y, aunque la solución puede no ser importante, los intentos de solución han generado una gran cantidad de matemáticas importantes. Por ejemplo, el concepto de cuasidiagonalidad para las álgebras C*, que es muy importante para ese tema, fue definido por Halmos como una versión reducida de la cuasitriagularidad (una propiedad destilada de varios teoremas sobre el problema del subespacio invariante).

Answer 3

Si el problema del subespacio invariante tiene una respuesta positiva entonces todo operador acotado $A \in B(H)$ puede ponerse en forma triangular superior, en el sentido de que hay una cadena máxima $(E_\lambda)$ de subespacios cerrados de $H$ de manera que cada $E_\lambda$ es invariable para $A$ .

En $\mathbb{C}^n$ una cadena máxima de subespacios tiene el aspecto siguiente $$\{0\} = E_0 \subset E_1 \subset \cdots \subset E_n = \mathbb{C}^n,$$ donde la dimensión de $E_i$ es $i$ y cualquier operador para el que todos los $E_i$ son invariantes es literalmente triangular superior para una base ortonormal cuya primera $i$ los elementos pertenecen a $E_i$ para todos $i$ . La versión de dimensión infinita es una generalización natural y parece decir bastante sobre la estructura de $A$ .

Sin duda este resultado sería considerado "conocido" por los expertos, pero no pude encontrarlo explícitamente en ninguna parte, así que lo incluí cerca del final de este documento . Además, Matt Kennedy respondió esta pregunta con una referencia a un resultado que lo implica fácilmente.