¿La distribución uniforme es mayoritaria en todas las secuencias?

Question

Dejemos que $$x = [1/n, 1/n,\dots, 1/n]$$ y $$y = [y_1, \dots, y_n]$$ sean vectores de probabilidad en $n$ elementos (es decir, $\sum x_i = \sum y_i = 1$ y $x_i,y_i\geq 0$ ).

¿Es cierto que $x$ es siempre Mayoritariamente por $y$ ?

Mi opinión: sí . Por lo que puedo ver en Wikipedia (sección Geometría de la mayorización), un vector $a$ es mayorado por un vector $b$ si $a$ está dentro del casco convexo de los vectores obtenidos al permutar todos los elementos de $b$ . Para los vectores de probabilidad, el casco será un subespacio del $n$ simplex dimensional. Intuitivamente, porque $x$ es uniforme siempre estará en el "centro" del simplex y por tanto dentro del casco convexo.

He buscado en Internet durante un tiempo y no he podido obtener una referencia de dicho resultado. Si alguien tiene una referencia, ¡también se lo agradecería!

Answer 1

Dejemos que $y_{(1)}, y_{(2)}, \cdots, y_{(n)}$ sea un orden no creciente de $y_1, y_2, \cdots, y_n$ . Para $1 \leq k < n$ , dejemos que $$ S_k = \sum_{i=1}^k y_{(i)} \quad \text{and} \quad T_k = \sum_{i=k+1}^n y_{(i)} $$ Es fácil ver que $$ S_k + T_k = 1 \tag{$ 1 $} $$ Además, tenemos $$ S_k \geq \sum_{i=1}^k y_{(k)} = ky_{(k)} \Rightarrow \frac{S_k}{k} \geq y_{(k)} \quad \text{and} \quad T_k \leq \sum_{i=k+1}^n y_{(k)} = (n - k)y_{(k)} \Rightarrow \frac{T_k}{n-k} \leq y_{(k)} $$ Eso es, $$ \frac{n-k}{k}S_k \geq T_k \tag{$ 2 $} $$ Combinando $(1)$ y $(2)$ tenemos $$ S_k + \frac{n-k}{k}S_k \geq S_k + T_k = 1 \Rightarrow S_k \geq \frac{k}{n} $$ Por lo tanto, $x$ es mayoritaria en $y$ .

Answer 2

Dejemos que $\{y_i^*\}_{i=1}^n$ sea la disposición decreciente (es decir, no creciente) del $y_i$ 's. $x$ es mayoritaria en $y$ si y sólo si $a_k=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^ky_i^{*}\geq\frac{1}{n}$ para cada $k=1,2,\dots n$ . Pero $a_k$ es no creciente, como se puede comprobar fácilmente, es decir, $$a_1\geq a_2\cdots\geq a_n=\frac{1}{n},$$ por lo que la afirmación queda demostrada.