¿Hay algo malo en esta prueba?

Question

¿Hay algo malo en esta prueba?

Para demostrarlo : cualquier subgrupo no trivial(G digamos) de $(\mathbb R,+)$ es denso en $\mathbb R$ o $\mathbb Z.l$ , $l=inf\{x \in G:x>0\}$ .

¿Es correcto mi planteamiento? Mi prueba:

Sea G no denso en $\mathbb R$ . Así que existen $x\in \mathbb R$ y existe $\epsilon>0$ para que $N_{\epsilon}(x)$ no contiene ningún punto de G. Es decir $G \subseteq \mathbb R-N_{\epsilon}(x)$ .

Como G no es trivial, existe $r$ no cero en G. Así que $r \in \mathbb R-N_{\epsilon}(x)$ . Como G es un subgrupo de $\mathbb R$ así que $-r$ también está en Sol. Así que hay un $r>0$ en G. (puede ser más de uno).

Elegimos $l=inf\{x \in G:x>0\}$ Ahora bien, si $l\in G$ entonces definitivamente " $G= \mathbb Z.l$ ", ahora reclaman: $l$ está en G. Si no $l$ está en $\mathbb R$ . Por lo tanto, para todos $\delta>0$ , $N_{\delta}(l)$ contiene el punto de $G$ contradictorio $G$ no es denso en $\mathbb R$ . así que hecho.

Answer 1

Hay dos partes de la prueba que son necesarias:

Si $l=0$ entonces demuestre que $G$ es denso en $\mathbb R$ .

Si $l>0$ , demuestran que $G=l\mathbb Z$ .

No creo que hayas demostrado ninguna de las dos cosas, aunque concentrarte en este valor $l$ es un buen comienzo.

Voy a dar una pista para la primera parte.

Si $l=0$ , entonces para cualquier $\epsilon>0$ hay un $r\in G$ tal que $0<r<\epsilon,$ por la definición de $l$ . Ahora, dado cualquier $x\in \mathbb R$ , demuestran que $N_{\epsilon}(x)$ debe contener algún $nr$ con $n$ un número entero.