Así que me estoy preocupando de cómo resolver analíticamente para $x$ en $\text{c}+\text{a}x=\text{b}^x$ .
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La ecuación $y=xe^x$ no tiene ninguna función inversa que pueda expresarse mediante composiciones de funciones elementales (funciones racionales, funciones radicales, funciones exponenciales y logarítmicas, funciones triginométricas). Así, al igual que inventamos los logaritmos para invertir los exponenciales, inventamos una función para invertir $f(x)=x e^x$ . Se denomina función W de Lambert $W(x)$ .
Por lo general, no inventamos nuevas funciones a menos que las necesitemos. Por ejemplo, al menos para los números positivos, declaramos la función inversa de $x^2$ para ser $\sqrt{x}$ pero después de ese punto no declaramos nuevas funciones inversas para cada función cuadrática $ax^2+bx+c$ (en un dominio apropiado), porque el $\sqrt{x}$ es suficiente para escribir esas funciones inversas siempre que la mezclemos con otras operaciones (como se ve en la fórmula cuadrática).
La ecuación $ax+c=b^x$ puede reordenarse para que sea soluble por la función W de Lambert, siempre que introduzcamos algunas sustituciones en el camino. Para empezar,
$$\begin{array}{ll} ax+c=b^x & \iff (ax+c)b^{-x}=1 \\ & \iff (ax+c)\exp\big((-\ln b)x\big)=1. \end{array} $$
Set $u=(-\ln b)x$ en cuyo caso se convierte en
$$\begin{array}{l} \iff \displaystyle\left(-\frac{a}{\ln b}u+c\right)\exp(u)=1 \\ \iff \displaystyle\left(u-\frac{c\ln b}{a}\right)\exp(u)=-\frac{\ln b}{a}. \end{array} $$
Por último, establece $v=u-c\ln(b)/a$ para obtener
$$ \begin{array}{l} \displaystyle \iff v\exp\left(v+\frac{c\ln b}{a}\right) = -\frac{\ln b}{a} \\ \displaystyle \iff v\exp(v)= -\frac{\ln b}{a}\exp\left(-\frac{c\ln b}{a}\right) \\ \iff \displaystyle v=W\left(-\frac{\ln b}{a}\exp\left(-\frac{c\ln b}{a}\right)\right) \end{array} $$
Ahora, $\displaystyle v=u-\frac{c\ln b}{a}=(-\ln b)x-\frac{c\ln b}{a}$ Así que esto se convierte en
$$ \begin{array}{l} \displaystyle \iff (-\ln b)x-\frac{c\ln b}{a}= W\left(-\frac{\ln b}{a}\exp\left(-\frac{c\ln b}{a}\right)\right) \\ \displaystyle \iff x=-\frac{c}{a}-\frac{1}{\ln b} W\left(-\frac{\ln b}{a}\exp\left(-\frac{c\ln b}{a}\right)\right). \end{array}$$
user90369
Puntos
26
Se puede reducir a $\enspace y=z^{\frac{1}{z}}$ .
Existen varios métodos para resolverlo (por ejemplo, la función W de Lambert, diferentes tipos de iteración, ...).
Para su ecuación es $\enspace \displaystyle y=(b^{1/a})^{b^{-c/a}}$ y $\enspace z=b^{c/a}(ax+c)$ .
$y$ se da, se resuelve primero para $z$ y luego para $x$ .
La situación agradable es aquí, que para $y>0$ se puede discutir inmediatamente el número de soluciones sin derivación:
$0<y\leq 1$ Una solución: una solución
$1<y<e^{\frac{1}{e}}$ Dos soluciones
$y=e^{\frac{1}{e}}$ Una solución: una solución $\enspace\enspace\enspace ($ ici $ax+c$ es una tangente a $b^x$ $)$
$y>e^{\frac{1}{e}}$ No hay solución.
