Diferenciación numérica y regla del producto

Question

Es sabido que para dos funciones $p$ y $q$ , $$[p(x)q(x)]' = p'(x)q(x)+p(x)q'(x)$$

Pero si se utiliza la aproximación numérica, por ejemplo el método de las diferencias centradas

$$f'(x) = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+O(h^2)$$

entonces el LHS y el RHS darán resultados diferentes. En particular, el LHS dará el error $O(h^2)$ pero el RHS dará error $O(p+q)O(h^2)$ . No estoy seguro de cómo tratar $O(p+q)O(h^2)$ . Según tengo entendido $$O(p+q)O(h^2)\ne O(h^2)$$

¿Es correcta mi línea de pensamiento? Le agradecería que me diera una idea.

Answer 1

Creo que la mejor manera de entender lo que ocurre es dejar de lado la notación "O grande" y utilizar la fórmula de Taylor para escribir realmente el error cometido al aproximar las derivadas por diferencias finitas...

$$ \dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} = \dfrac{1}{2h}\left(f(x)+f'(x)h +f''(x)\frac{h^2}{2} + \frac 16 f'''(\xi_1) h^3 - (f(x) - f'(x) h +\frac 12 h^2 f''(x) - \frac 16 h^3 f'''(\xi_2)) \right)\\= f'(x)+\frac 16 ( f'''(\xi_) + f'''(\xi_2))\frac{h^2}{2}\\ = f'(x) + \frac{h^2}{6}f'''(\xi) $$

Así que ves que tu $O(h^2)$ es una constante por $h^2$ pero esta constante depende de la función $f$ y en el punto $x$ donde estamos calculando la derivada.

Cuando se aproxima $(p(x)q(x))'$ se obtiene un $O(h^2)$ pero la constante delante de $h^2$ depende de la tercera derivada de $pq$ . Cuando se mira el RHS, también se obtiene un $O(h^2)$ ... pero la constante frente a $h^2$ es diferente. El error será algo así como $$ p'''(\xi_3)\frac{h^2}{6} \cdot q(x) + q'''(\xi_4) \frac{h^2}{6} \cdot p(x), $$

que sigue siendo $O(h^2)$ .

Answer 2

El parámetro pequeño es $h$ ; $p$ y $q$ son finito . Por lo tanto, el término $p\,O(h^2) = O(h^2)$ . Idem para $q$ .