Los mapas de proyección y los límites inversos (Willard, ejercicio 29C)

Question

Dejemos que $A$ sea un conjunto dirigido, sea $X_{\alpha}$ sean espacios topológicos para $\alpha \in A$ , dejemos que $f_{\beta \alpha}: X_{\beta} \to X_{\alpha}$ sea continua, y supongamos que si $\alpha \leq \beta \leq \gamma$ tenemos $f_{\gamma \alpha} = f_{\beta \alpha} \circ f_{\gamma \beta}$ . Supongamos que $f_{\alpha \alpha}$ es la identidad $X_{\alpha} \to X_{\alpha}$ para cada $\alpha$ . Sea $X: = \{x \in \prod X_{\gamma} | x_{\alpha} = f_{\beta \alpha} (x_{\beta}) \text{ for all } \alpha \leq \beta \}$ denotan el límite inverso, al que ahora dotamos de topología subespacial.

Parte del ejercicio 29C en Willard establece que el mapa de proyección $\pi_{\alpha}$ restringido a $X$ se proyecta sobre $X_{\alpha}$ para todos $\alpha$ . Tengo problemas para ver por qué esto es cierto; se agradece cualquier pista.

No tengo claro que esto sea cierto; presento un ejemplo. Tome $A= \mathbb N \setminus \{0\}$ , toma $X_n = [- \frac{1}{n}, \frac{1}{n}]$ y que $f_{mn}: X_m \hookrightarrow X_n$ sea el mapa de inclusión para $m \geq n$ . Entonces, el límite inverso es el espacio $X=\{(0, 0, \ldots )\}$ ; claramente la proyección $\pi_n$ restringido a $X$ no se proyecta sobre $X_n$ . ¿Me he equivocado?

Answer 1

La cuestión de si los mapas $p_\alpha = \pi_\alpha \mid_X : X \to X_\alpha$ son suryentes no está relacionado con las topologías de los espacios $X_\alpha$ Es una cuestión de establece .

De hecho, se puede considerar un sistema inverso $\mathbf X = (X_\alpha, f_{\beta \alpha})$ compuesto por conjuntos $X_\alpha$ y funciones $f_{\beta \alpha} : X_\beta \to X_\alpha$ . Entonces la misma definición $X = \{ (x_\gamma) \in \prod X_{\gamma} | x_{\alpha} = f_{\beta \alpha} (x_{\beta}) \text{ for all } \alpha \leq \beta \}$ produce un límite inverso en la categoría de conjuntos.

Tenemos $p_\alpha = f_{\beta \alpha} \circ p_\beta$ Así, para $p_\alpha$ para ser subjetivo es necesario que $f_{\beta \alpha}$ es suryente.

¿Es la subjetividad de la $f_{\beta \alpha}$ ¿Suficiente? Si $A$ contiene un cofinal contable $C$ (lo que significa que cada $\alpha' \in A$ admite $\gamma \in C$ tal que $\alpha' \le \gamma$ ), entonces la respuesta es "sí".

Escribimos $C = \{ \gamma_n \mid n \in \mathbb{N} \}$ .

Dejemos que $\xi_\alpha \in X_\alpha$ . Recursivamente podemos construir una secuencia estrictamente creciente de enteros $n_k$ y elementos $x_{\gamma_{n_k}} \in X_{ \gamma_{n_k}}$ , $k \in \mathbb{N}$ , tal que para todo $k$

(1) $\gamma_k,\gamma_{n_{k-1}} \le \gamma_{n_k}$ (donde establecemos formalmente $\gamma_{n_0} = \alpha$ )

(2) $f_{\gamma_{n_k} \gamma_{n_{k-1}}}(x_{\gamma_{n_k}}) = x_{\gamma_{n_{k-1}}}$ (donde establecemos formalmente $x_{\gamma_{n_0}} = \xi_\alpha$ )

Nótese que esto implica una variante del axioma de elección (el axioma de elección dependiente).

Por construcción tenemos $\alpha = \gamma_{n_0} \le \gamma_{n_1} \le \gamma_{n_2} \le \dots$ . El conjunto $C' = \{ \gamma_{n_k} \mid k \in \mathbb{N} \}$ es de nuevo cofinal en $A$ : Para $\alpha' \in A$ existe $k$ tal que $\alpha' \le \gamma_k$ Por lo tanto $\alpha' \le \gamma_{n_k}$ .

Para cada $\gamma \in A$ ahora definimos $x_\gamma = f_{\gamma_{n_k} \gamma} (x_{\gamma_{n_k}})$ con cualquier $k$ tal que $\gamma \le \gamma_{n_k}$ . Es fácil ver que esto no depende de la elección de $k$ y que $x_\alpha = \xi_\alpha$ y $(x_\gamma) \in X$ . Por lo tanto, $p_\alpha((x_\gamma)) = \xi_\alpha$ .

Answer 2

Esa parte del ejercicio necesita que todos $X_\alpha$ son Hausdorff compactos (como en la parte anterior) y todos los mapas de unión $f_{\beta \alpha}$ están en. Por ejemplo, véase el capítulo 3.2 de Engelking. Esta última condición es necesaria, como lo demuestra su ejemplo.