¿Puede alguien decirme intuitivamente qué significa geométricamente cuando decimos que dos espacios son homotópicos equivalentes? Entiendo la definición técnica.
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guruz
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Es más fácil entender primero lo que es una retracción por deformación. A saber, si $A\subset X$ , $X$ deformación se retrae en $A$ si existe una homotopía de la identidad en $X$ a una retractación $X\to A$ que fija $A$ todo el tiempo. Intuitivamente, estás reduciendo continuamente las partes de $X$ no en $A$ hasta que todos aterricen en $A$ .
Por otro lado, una equivalencia homotópica general siempre puede escribirse como una composición de retracciones de deformación, así que una vez que se entiende esto, también se entiende el caso general, en cierto sentido.
La equivalencia homotópica es una versión más débil de la equivalencia que el homeomorfismo. Una equivalencia de homotopía puede considerarse como un aplastamiento y estiramiento continuos (es decir, una deformación) del espacio. Me gustaría dar algunos ejemplos de equivalencias de homotopía que son y no son homeomorfismos.
1) Todo par de espacios que son homeomorfos son homotópicamente equivalentes. Esto se debe a que se puede tomar una familia de mapas parametrizada por $t \in [0,1]$ como las homotopías que comienzan en la identidad y terminan en el homeomorfismo. Si $f$ es el homeomorfismo, la familia podría ser algo así como $(1-t)Id + tf$ .
2) Los espacios que no son homeomórficos pueden ser homotópicos. Consideremos la letra X. Podemos contraer este espacio a su punto central aspirando las líneas horizontales de los catetos, y luego tirando de los catetos hacia el punto central. Sin embargo, X no es homeomorfo a un punto, porque este mapa no es biyectivo (y más generalmente, X menos su punto central tiene 4 componentes conectadas, pero el punto menos un punto es simplemente vacío).
3) Para las superficies compactas (sin límites), la equivalencia homotópica y el homeomorfismo son en realidad la misma cosa. Si no estás familiarizado con la teoría de superficies, hay una gran cantidad de buenas referencias sobre los fundamentos que dan el teorema de clasificación que debería aclarar este punto. Creo que Munkres es la referencia estándar.
