(Apenas) puedo comprender la definición de las K-grupos algebraicos superiores a la de la construcción y ahora mismo (tengo algunos más allá de la familiaridad con el K-teoría para la C-álgebras y puede recordar los rudimentos de la situación para paquetes del vector). Tan "simple", me refiero a un laico matemático. Si usted tiene una respuesta complicada, no dude en responder así, pero probablemente no será capaz de entender mucho.
Respuestas
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Tal vez la otra Bloch-Kato conjetura es más relevante; se relaciona Milnor la mayor $K$-y grupos de Galois cohomology.
El siguiente texto está extraído de la exposición de la cuenta en el arXiv.
Deje $F$ ser un campo, $n>0$ de un número entero que es invertible en $F$, $\bar F$ un separables cierre de $F$$\Gamma=\operatorname{Gal}(\bar F|F)$. Allí es una secuencia exacta $$ \{1\}\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}(1)\a {\bar F}^\times\a {\bar F}^\times\a \{1\} $$ de discretos $\Gamma$-módulos, donde $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}(1)$ es el grupo de $n$-th raíces de $1$$\bar F$. El largo asociado exacta cohomology de la secuencia y Hilbert teorema de 90 presentar un isomorfismo $\delta_1:F^\times/F^{\times n}\to H^1(\Gamma,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}(1))$. La copa del producto en cohomology $$ \sonrisa\;:H^r(\Gamma\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}(r)) \times H^s(\Gamma\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}(s))\a H^{r+s}(\Gamma\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}(r+s)) $$ a continuación, proporciona una bilineal mapa $ \delta_2:F^\times/F^{\times n}\times F^\times/F^{\times n}\ H^2(\Gamma\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}(2)). $
Lema (Tate, 1970) El mapa de $\delta_2(x,y)=\delta_1(x)\smile\delta_1(y)$ es un el símbolo de $F$.
Un símbolo es un bilineal mapa de $s:F^\times\times F^\times\to A$ a un conmutativa grupo tal que $s(x,y)=0$ siempre $x+y=1$$F^\times$. No es un símbolo universal $F^\times\times F^\times\to K_2(F)$, dando lugar a Milnor la teoría de la mayor $K$grupos $K_r(F)$ por cada $r\in\mathbb{N}$, como se explica en Milnor del libro.
Este símbolo también da lugar a un homomorphism $$ \delta_r:K_r(F)/nK_r(F)\a H^r(\Gamma\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}(r)). $$
Conjetura (Bloch-Kato, 1986) El mapa $\delta_r$ es un isomorfismo para todos los campos de $F$, todos los números enteros$n>0$ (invertible en a $F$) y todos los índices de $r\in\mathbb{N}$.
El principal teorema de Merkurjev-Suslin (1982) dice que el mapa $\delta_2$ es siempre es un isomorfismo ; Tate había probado antes (1976) para el global de los campos. Bloch-Gabber-Kato demostrar esta conjetura al $F$ es un campo de característica $0$ dotado de una henselian discreta valoración de los residuos de las característica $p\neq0$ $n$ es una potencia de $p$.
Alguien debería pedir un qustion sobre el estado actual de la de Bloch-Kato conjeturas y obtener algunos expertos (tales como Weibel) para contestar. Mi impresión es que es ahora un teorema por el trabajo de Rost y Voevodsky, sino que es una prueba con todos los los detalles no está disponible en un solo lugar.
El Bloch-Kato conjetura hace que el notable predicción de que el graduado álgebra $\oplus_r H^r(\Gamma,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}(r))$ es generado por elementos de grado 1. Galois grupos, por lo que debe ser muy especial entre profinite grupos en este sentido.
Marco Ramos
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Una simple declaración puede ser que, si $F \to E$ $G$- extensión de Galois, entonces hay un mapa de $K(F) \to K(E)^{hG}$ desde el algebraicas $K$-la teoría del espacio de $F$ a la $G$-homotopy puntos fijos de la algebraicas $K$-la teoría del espacio de $E$. El Lichtenbaum--Quillen conjetura identifica situaciones donde este mapa es `casi" un débil equivalencia, en el sentido de que se induce un isomorfismo en homotopy grupos con finito de coeficientes y lo suficientemente altos grados.
Hay una secuencia espectral $E^2_{s,t} = H^{-s}(G; K_t(E))$ (grupo cohomology) convergen a $\pi_{s+t}(K(E)^{hG})$, y del mismo modo con finito de coeficientes de $Z/p$, así que, cuando esto es equivalente a $\pi_{s+t} K(F) = K_{s+t}(F)$ puede recuperar la algebraicas $K$-teoría de la $F$ desde el algebraicas $K$-teoría de la $E$. Esta es una forma de Galois de descenso.
Dejando $E$ crecer a la separables cierre de $F$, puede utilizar Suslin del teorema sobre la algebraicas $K$-teoría de la separadamente de campos cerrados para obtener en el algebraicas $K$-teoría de otros campos de $F$ por medio de la cohomology de su absoluta grupos de Galois, es decir, su Galois cohomology.
Si usted trabaja con el más general de anillos conmutativos, o esquemas, y reemplazar Galois extensiones de etale cubre, su respuesta va a implicar etale cohomology en lugar de Galois cohomology, pero la idea es la misma.
El Lichtenbaum--Quillen conjetura (por ejemplo, para el número de campos) se sabe que seguir a partir de la Milnor conjetura (p=2) y la de Bloch--Kato conjetura (en algunos los números primos p). El argumento compara etale cohomology a motivic cohomology, y utiliza el Atiyah--Hirzebruch tipo espectral de la secuencia de motivic cohomology para algebraicas $K$-teoría. Voevodsky demostrado la Milnor conjetura en 1996. La (presunta confirmado) estado de la totalidad de Bloch--Kato conjetura es comentado en otros posts.
Teniendo en cuenta estos resultados, el algebraicas $K$-grupos de (anillos de enteros) número de campos o campos locales de característica cero se calculan en términos de la correspondiente etale cohomology grupos.
Si usted trabaja con brave new anillos, o estructurados anillo de espectros, la Galois descenso análogo de la Lichtenbaum--Quillen conjeturas está abierto, el etale descenso versión es todavía en la necesidad de una formulación óptima, y creo que no se conoce la definición de motivic cohomology. En estos casos, los mejores resultados computacionales obtenidos mediante el cyclotomic traza el mapa de la algebraicas $K$-teoría topológica de la homología cíclica, no por el descenso.
- Juan
Ash
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Hay un montón de mapas de $K$ grupos de varias otras cosas, incluidos los grupos de Galois. He aquí un ejemplo, debido a Kato, que generaliza local de campo de la clase de teoría.
Local clásico campo de la clase de teoría dice que si $F$ es un campo local (por lo que me refiero, en este caso, un campo completo con respecto a una discreta valoración y con un número finito de residuos de campo), entonces existe un natural mapa de $F^\times\to Gal(F^{ab}/F)$ que se comporta bien en el finito de niveles: si $L/F$ es una extensión finita, a continuación, $F^\times/N_{L/F}L^\times\to Gal(L/F)$ es un isomorfismo. Pero $F^\times=K_1(F)$, por lo que tenemos un mapa de $K_1(F)\to Gal(F^{ab}/F)$ que se comporta de la misma manera en finito de niveles.
Vamos a generalizar este concepto la definición de una $r$-dimensiones del campo local de forma inductiva. Un 0-dimensional del campo local es un campo finito, y un $r$-dimensiones del campo local es un campo completo con respecto a una discreta valoración cuyo residuo de campo es un $(r-1)$-dimensiones del campo local. Así, un clásico en el campo local es 1-dimensional de campo local.
Kato encontrar mapas de $K_r^M(F)\to Gal(F^{ab}/F)$ cuales son isomorphisms en el finito de niveles, donde el $K_r^M$ son los Milnor (no Quillen!) $K$-grupos. También se comportan de manera similar, bien en el finito de niveles.
