Problemas abiertos en Geometría Biracional, después del BCHM

Question

Recientemente se produjo un avance en el contexto de la Programa Modelo Mínimo por el trabajo de Birkar-Cascini-Hacon-McKernan. Demostraron que el anillo canónico de una variedad algebraica proyectiva suave o ligeramente singular está finitamente generado.

Como soy estudiante de maestría y por lo tanto no tengo una visión amplia del tema (no soy un experto), me gustaría saber cuáles son los principales problemas abiertos en esta dirección (me refiero, en el marco de la Programa Mori ). En términos más generales, ¿cuáles son ahora las fuerzas motrices, las grandes cuestiones abiertas en la geometría birracional?

Siéntase libre de cerrar esta pregunta, si es demasiado genérica para los propósitos del sitio. Gracias de antemano.

Answer 1

Permítanme añadir mi respuesta.

En la característica 0.

1. Conjetura de abundancia. Esta es probablemente aceptada universalmente como la cuestión más importante para el actual programa de modelos mínimos después de la prueba de generación finita de BHCM. Quiero señalar que el PMM log canónico n-dimensional se deriva del PMM klt n-dimensional y del PMM log canónico n-1 dimensional. Así que no hay ninguna dificultad nueva para los pares log canónicos, al menos para el MMP, aparte de la abundancia para klt.

2. Tipo general. De hecho, tras el trabajo de BCHM, Koll'ar y mucha otra gente, creo que tenemos una comprensión bastante buena de la clasificación aproximada de los tipos generales, es decir, sabemos que forman un espacio de moduli que tiene una compactación bastante razonable.

3. Fano y las singularidades. La acotación de Fano, es decir, la conjetura BAB, es una de las cuestiones más fundamentales sobre Fano singular. Sólo conocemos casos especiales. En filosofía, hay un principio de local a global, y en consecuencia, debemos considerar cierta acotación de las singularidades. El famoso desafío allí es la conjetura ACC de mld de Shokurov. Nótese que esto debería ser sustancialmente más difícil que el ACC de los umbrales lógicos canónicos, que ahora es un teorema. Otro es la conjetura de la semicontinuidad de mld. Y Shokurov demostró que estas dos conjeturas juntas implican la terminación de los volteos.

4. Calabi-Yau. Para mí hay dos problemas fundamentales. Uno es la finitud del tipo topológico, Otro es la conjetura del cono de Kawamata-Morrison. Cada uno de ellos está todavía fuera de alcance incluso en dimensión 3. Esto no es una gran sorpresa, ya que todavía estamos bastante falta de comprensión de CY en dimensión 3. Por otra parte, si se aplica aquí el principio de local a global, entonces deberíamos considerar la CY semilogocanónica. Y los ejemplos recientes de Koll'ar señalan que la imagen de la CY es aún más complicada.

En la característica p.

En la característica p, la cuestión más importante para mí es la resolución de la singularidad. Lo siguiente es cuántos resultados en la característica 0 de MMP siguen siendo válidos en la característica p. Sin el teorema de tipo de fuga, todavía podemos formular la mayoría de esos resultados, pero entonces realmente pone un signo de interrogación sobre si todavía debemos creerlos.

Mi sensación es que, aunque hay muchos trabajos sustanciales en los últimos tiempos, todavía no está claro cuál debe ser el panorama.

Answer 2

• La conjetura de la abundancia.

En su forma más simple dice: Si $X$ es una variedad mínima (es decir, el divisor canónico $K_X$ es nef y $X$ tiene singularidades terminales) entonces algún múltiplo $mK_X$ es libre de punto base. Así, las secciones de alguna potencia del haz canónico dan un morfismo al espacio proyectivo. En este caso, es sencillo demostrar que el anillo canónico $R(X,K_X)$ está generada finitamente.

• Terminación de los volteos de troncos.

Creo que ambas conjeturas están abiertas en la dimensión $\ge 4$ .

Editar : Como señala Artie, se conoce la existencia de volteos en todas las dimensiones por el trabajo de BCHM. También hay resultados parciales sobre la terminación en dimensión 4 por, Birkar, Fujino, Alexeev-Hacon-Kawamata,.

Answer 3

[Sólo porque Artie preguntó:] :)

Muchas partes de la mmp no se conocen para los pares canónicos lógicos. Hay muchos resultados en esa dirección, pero también hay muchas preguntas abiertas. En cierto sentido log canonical es una clase más natural que klt o incluso dlt y es muy importante desde el punto de vista de las aplicaciones a la teoría de módulos porque las singularidades semi log canonical (la versión no normal de lc) son cerradas bajo degeneración estable mientras que las singularidades de klt no lo son. Una dificultad importante proviene del hecho de que las singularidades lc no son racionales.

Answer 4

No soy un experto, pero tengo entendido que BCHM asume la característica cero. ¿Qué pasa con la característica positiva?