Propiedad reproductiva de la distribución normal multivariante en el contexto del modelo de regresión múltiple(intuición):

Question

Propiedad reproductiva:

Dejemos que $Z \sim N_m(\mu,\Sigma)$ y $A$ ser un $[l\times m]$ matriz con $\operatorname{rank}(A) = l$ .

Ensuite : $AZ + a \sim N_l\left(A \mu + a,A \Sigma A^T\right)$ .

Entiendo la parte técnica de la prueba, pero no entendí la intuición detrás de este teorema. Así que tengo un par de preguntas:

1) ¿Por qué nos importa la multiplicación de nuestra variable randim $Z$ por matriz $A$ (en lugar de un vector). ¿Cómo se ve en el problema del mundo real? (o al menos algunos ejemplos teóricos, que proporcionarán la intuición).

2) ¿Por qué necesitamos el rango de la matriz $A$ para ser $l$ ?

Espero recibir algunas buenas explicaciones en el contexto del análisis de regresión múltiple.

Answer 1

1) Muchos teoremas se demuestran sin ningún "impulso de intuición", y los investigadores tratan de conseguir la mayor generalidad posible. Entonces, si podemos tener la propiedad reproductiva para una matriz, ¿por qué limitarnos al caso de un vector (que es una matriz restringida a tener una de sus dimensiones igual a la unidad)?

Tenga en cuenta que $Z$ es un vector aleatorio. Si $\mathbf a$ es un $1 \times m$ vector $\mathbf aZ$ será una variable aleatoria unidimensional. $AZ$ será en cambio un $l \times 1$ vector aleatorio, por lo que estamos probando la propiedad reproductiva para los vectores, lo que nos da más opciones de modelado.

2) Necesitamos $A$ ser de rango $l\;$ porque $A\Sigma A^T$ tendrá el rango de $A$ (álgebra lineal de búsqueda) y queremos que esta matriz de Varianza-Covarianza tenga rango completo (y por tanto sea no singular)