Dejemos que $K = F_2(x)$ y $q_t(x) = x^2-x-t \in K[x]$ . Demostrar que $q_t$ no se puede resolver por medio de radicales.

Question

Dejemos que $K = F_2(x)$ y $q_t(x) = x^2-x-t \in K[x]$ . Sea $E$ sea su campo de división. Necesito demostrar que $Gal_{E/K} \simeq \mathbb{Z_2}$ y que $q_t$ no se puede resolver por medio de radicales.

¿Alguna pista?

Answer 1

En general, $X^p - X - t$ nunca es solucionable mediante radicales sobre $\mathbb F_p(t)$ (para el primer $p$ ), y siempre tiene grupo de Galois $C_p$ .

Para ver que el grupo de Galois es $C_p$ , dejemos que $\gamma$ sea una raíz en un campo de división y observe que las otras raíces son precisamente $\gamma + k$ para $k \in \mathbb F_p$ por lo que el grupo de Galois está generado por traslaciones de la forma $\gamma \to \gamma + k$ para $k \in \mathbb F_p$ . Esto significa que no hay ningún campo intermedio entre $\mathbb F_p(t)$ y el campo de división $L$ de $X^p - X - t$ (ya que por consideraciones de grado no tiene raíz en $\mathbb F_p(t)$ ) y deducimos que el polinomio es irreducible en $\mathbb F_p(t)[X]$ .

Para ver que nunca es resoluble por radicales, es fácil ver que esto está implícito en el siguiente lema por inducción: (el cierre algebraico está tomado a propósito, y se aplica sólo a $\mathbb F_p$ )

Lema. Si $K \supset \mathbb{\bar{F}}_p(t)$ es una extensión finita de $\mathbb {\bar{F}}_p(t)$ sobre el cual $X^p - X - t$ es irreducible, entonces para cualquier primo $q$ , cualquier $y \in K$ y cualquier $\alpha \notin K$ , $\alpha^q \in K$ ; $X^p - X - t$ sigue siendo irreducible sobre $K(\alpha)$ .

Prueba. En el caso $q \neq p$ , obsérvese que por un resultado general de la teoría de campos, $X^q - y$ es irreducible en $K[X]$ o tiene una raíz en $K$ . Desde $K$ contiene todas las raíces de la unidad de orden coprimo a $p$ Esto equivale a $X^q - y$ completamente dividido $K$ y, por lo tanto, o bien $\alpha \in K$ ou $y$ tiene grado $q$ en $K$ . Podemos ver que es imposible que haya un grado $p$ subextensión de $K(y^{1/q})/K$ por un argumento de divisibilidad.

En el caso $q = p$ la extensión $K(\alpha)/K$ es una extensión puramente inseparable, por lo que existe una igualdad de grados de separabilidad $[K(\alpha): \mathbb{\bar{F}}_p(t)]_s = [K : \mathbb{\bar{F}}_p(t)]_s$ . Si $K(\alpha)$ contenía una raíz de $X^p - X - t$ entonces su grado de separabilidad sobre $\mathbb{\bar{F}}_p(t)$ sería estrictamente mayor que la de $K$ por lo que se deduce que $K(\alpha)$ no contiene una raíz de $X^p - X - t$ y por extensión concluimos $X^p - X - t$ es irreducible sobre $K(\alpha)$ por un argumento similar de la teoría de Galois que utilizamos anteriormente.

Por último, obsérvese que la solvencia en radicales sobre $\mathbb{\bar{F}}_p(t)$ es equivalente a la solvencia en radicales sobre $\mathbb F_p(t)$ ya que la primera es una extensión radical de la segunda (obtenida al unir todas las raíces de la unidad de orden coprimo a $p$ ).