Dejemos que $K = F_2(x)$ y $q_t(x) = x^2-x-t \in K[x]$ . Sea $E$ sea su campo de división. Necesito demostrar que $Gal_{E/K} \simeq \mathbb{Z_2}$ y que $q_t$ no se puede resolver por medio de radicales.
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En general, $ X^p - X - t $ nunca es solucionable mediante radicales sobre $ \mathbb F_p(t) $ (para el primer $ p $ ), y siempre tiene grupo de Galois $ C_p $ .
Para ver que el grupo de Galois es $ C_p $ , dejemos que $ \gamma $ sea una raíz en un campo de división y observe que las otras raíces son precisamente $ \gamma + k $ para $ k \in \mathbb F_p $ por lo que el grupo de Galois está generado por traslaciones de la forma $ \gamma \to \gamma + k $ para $ k \in \mathbb F_p $ . Esto significa que no hay ningún campo intermedio entre $ \mathbb F_p(t) $ y el campo de división $ L $ de $ X^p - X - t $ (ya que por consideraciones de grado no tiene raíz en $ \mathbb F_p(t) $ ) y deducimos que el polinomio es irreducible en $ \mathbb F_p(t)[X] $ .
Para ver que nunca es resoluble por radicales, es fácil ver que esto está implícito en el siguiente lema por inducción: (el cierre algebraico está tomado a propósito, y se aplica sólo a $ \mathbb F_p $ )
Lema. Si $ K \supset \mathbb{\bar{F}}_p(t) $ es una extensión finita de $ \mathbb {\bar{F}}_p(t) $ sobre el cual $ X^p - X - t $ es irreducible, entonces para cualquier primo $ q $ , cualquier $ y \in K $ y cualquier $ \alpha \notin K $ , $ \alpha^q \in K $ ; $ X^p - X - t $ sigue siendo irreducible sobre $ K(\alpha) $ .
Prueba. En el caso $ q \neq p $ , obsérvese que por un resultado general de la teoría de campos, $ X^q - y $ es irreducible en $ K[X] $ o tiene una raíz en $ K $ . Desde $ K $ contiene todas las raíces de la unidad de orden coprimo a $ p $ Esto equivale a $ X^q - y $ completamente dividido $ K $ y, por lo tanto, o bien $ \alpha \in K $ ou $ y $ tiene grado $ q $ en $ K $ . Podemos ver que es imposible que haya un grado $ p $ subextensión de $ K(y^{1/q})/K $ por un argumento de divisibilidad.
En el caso $ q = p $ la extensión $ K(\alpha)/K $ es una extensión puramente inseparable, por lo que existe una igualdad de grados de separabilidad $ [K(\alpha): \mathbb{\bar{F}}_p(t)]_s = [K : \mathbb{\bar{F}}_p(t)]_s $ . Si $ K(\alpha) $ contenía una raíz de $ X^p - X - t $ entonces su grado de separabilidad sobre $ \mathbb{\bar{F}}_p(t) $ sería estrictamente mayor que la de $ K $ por lo que se deduce que $ K(\alpha) $ no contiene una raíz de $ X^p - X - t $ y por extensión concluimos $ X^p - X - t $ es irreducible sobre $ K(\alpha) $ por un argumento similar de la teoría de Galois que utilizamos anteriormente.
Por último, obsérvese que la solvencia en radicales sobre $ \mathbb{\bar{F}}_p(t) $ es equivalente a la solvencia en radicales sobre $ \mathbb F_p(t) $ ya que la primera es una extensión radical de la segunda (obtenida al unir todas las raíces de la unidad de orden coprimo a $ p $ ).
