Simplificación factorial con 1 negativo

Question

¿Cuál es la mejor manera de simplificar

$$\dfrac{(a+b-1)!}{(b-1)!}$$

Lo ideal es deshacerse de los dos $-1$ y la solución final no debe contener la función gamma

Answer 1

Suponiendo que $a$ y $b$ son números naturales: $$\frac{(a+b-1)!}{(b-1)!}=b(1+b)(2+b)\cdot\ldots\cdot(a-1+b).$$

Answer 2

$$a!~{a+b\choose a}\frac b{a+b}~=~a!~{a+b\choose b}\frac b{a+b}$$