Encuentre el número $n_p$ de Sylow $p$ subgrupos de $Alt(5)$ para $p=5,3,2$ .
Así que $Alt(5)=60=3*4*5$
Entonces para $p=5$ , $n_5$ $=2,3,4,6,12$ pero sólo $6=1$ mod $5$ Por lo tanto, hay $6$ Sylow $5$ subgrupos en $Alt(5)$
Entonces para $p=3$ , $n_3$ $=2,4,5,10,20$ pero entonces ambos $4$ y $10$ son congruentes con $1$ mod $3$ . ¿Qué hago en este caso?
Además, para $p=2$ ¿qué hago exactamente? Nos han enseñado a calcular el $n_i$ escribiendo los factores de la suma de los números sin incluir i, si eso tiene sentido, por ejemplo para $p=5$ , $n_5$ tenía posibilidades $2,3,4,6,12$ porque son los factores de $12$ et $60=3*4*5$ Así que descontando el $5$ obtenemos $3*4=12$ . Así que escribiría $60=2*2*3*5$ Pero entonces, ¿descontamos ambos 2, así que ? $n_2$ =factores de $15$ o sólo uno, así que $n_2$ =factores de $30$ ?
Estoy intentando resolver las preguntas utilizando el Teorema de Sylow pero me estoy atascando a la hora de encontrar los órdenes y determinar las estructuras de los subgrupos/grupos.
Si alguien puede explicarme un ejemplo sería increíble. Entiendo que encontrar $n_p$ cuando sólo hay un valor congruente con 1modp pero si hay varios no sé por dónde tirar.
Muchas gracias
