¿Puede un mapa suave inyectivo de una variedad suave a otra variedad suave tener una inversa discontinua?

Question

Creo que la respuesta es sí. Véase el ejemplo siguiente: consideramos el intervalo abierto $(-1,\infty)$ como un submanifold abierto de la variedad lisa $(i,\mathbb{R})$ con $i:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},i(x)=x$ siendo el gráfico. De la misma manera, $(i,\mathbb{R^2})$ es un colector liso con $i:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2,i(\textbf{x})=\textbf{x}$ siendo el gráfico.

Dejemos que $\varphi:(-1,\infty)\rightarrow\mathbb{R}^2$ par $\varphi(t)=\left(\frac{3t}{1+t^3},\frac{3t^2}{1+t^3} \right)$ . El rastro de $\varphi$ (con topología de subespacio) es la porción del "folium de Descartes" que se encuentra en los cuadrantes primero y segundo junto con el origen. Obsérvese que $\varphi$ es inyectiva pero cerca del origen, $\varphi^{-1}$ no es continua (ya que $\varphi(0)=\textbf{0}$ pero $\varphi(t)\rightarrow\textbf{0}$ como $t\rightarrow \infty$ ).

Por lo tanto, un mapa liso inyectivo entre variedades lisas puede tener una inversa discontinua.

$\varphi$ ">

Answer 1

Tienes razón. La preimagen de cualquier vecindad de $0$ en $\phi^{-1}$ es decir, la imagen de $(-\epsilon,\epsilon)$ en $\phi$ no será abierto en la topología del subespacio, ya que cualquier vecindad de $(0,0)$ en la topología del subespacio contiene un punto $\phi(t)$ con $t>\epsilon$ .

Observe que su mapa no sólo es suave e inyectivo, sino que incluso es un inmersión .

Este es un buen ejemplo de cómo las inmersiones inyectivas pueden fallar incrustaciones cuando su dominio no es compacto.

Otro ejemplo clásico es $\Bbb{R}\to T^2 = \Bbb{R}^2/\Bbb{Z}^2$ dado por $t\mapsto (t,\alpha t)$ , donde $\alpha$ es irracional. Se puede comprobar que se trata de una inmersión inyectiva, pero los subconjuntos abiertos de la imagen en la topología del subespacio tienen preimagen no acotada, por lo que la imagen de un subconjunto abierto acotado de $\Bbb{R}$ nunca está abierto en la imagen.

Ver la imagen en wikipedia aquí para tener una idea de este último ejemplo.