Estoy de acuerdo con Tim en que llamar "carta a Quillen" a Pursuing Stacks es erróneo, especialmente porque Quillen nunca respondió. Grothendieck también escribió: "Esto está escrito en inglés en respuesta a una correspondencia en inglés". En un momento dado planeó más volúmenes en francés, pero parece que se desvió de esto. Espero que lo siguiente sea de ayuda, además de la respuesta de David Robert, para poner en contexto la situación de los modelos para la teoría de la homotopía.
En una carta fechada el 02/05/1983 Alexander Grothendieck me escribió: "No te sorprendas por mi supuesta eficiencia en descifrar las nociones correctas sólo he seguido más bien me he dejado arrastrar, por ese hilo tan fuerte (más o menos: ¡comprender la cohomología no conmutativa de los topoi!) que he he tratado de vender durante unos diez o veinte años, sin que nadie dispuesto a ``comprarlo'', es decir, a hacer el trabajo. Así que finalmente me loco y decidí elaborar al menos un esbozo por mí mismo".
Pero esta pregunta es sobre la teoría de homotopía de categorías y la pregunta relacionada de "¿Por qué conjuntos simpliciales?", para lo cual ver también las buenas respuestas en marzo de 2011 a ¿Existe una explicación de alto concepto de por qué "simplicial" lleva a "homotopía-teórica"? .
La primera contribución de Dan Kan a la homotopía combinatoria fue en términos de conjuntos cúbicos. Cuando fue a Princeton se encontró con las desventajas de los conjuntos cúbicos: los grupos cúbicos no satisfacían la propiedad de extensión, y la realización geométrica del producto cartesiano de los conjuntos cúbicos tenía el tipo de homotopía equivocado, mientras que, como demostraron Moore y Milnor respectivamente, la situación estaba bien para los conjuntos simpliciales. Así que no intentaron perfeccionar la teoría cúbica. En mis estudios de doctorado en Oxford, 1956-59, la exposición era toda simplicial, especialmente cuando Michael Barratt volvió de Princeton en 1957.
Sin embargo, el libro de 1960 de Hilton y Wylie sobre topología algebraica era cúbico, al igual que algunas notas de 1962 de Federer de la Universidad de Brown, un libro posterior de Massey, y los conjuntos cúbicos siguieron siendo útiles en varios lugares. Nuestro libro de 2011 sobre "Topología algebraica no abeliana" es casi totalmente cúbica, debido a su énfasis en el uso de los teoremas de Seifert-van Kampen de homotopía superior.
![array]()
Mi intuición de 1965 para utilizar conjuntos cúbicos se basaba en la generalización del teorema de van Kampen a dimensiones superiores. Parecía totalmente razonable que el diagrama anterior pudiera expresarse como: el cuadrado grande es la composición de los cuadrados pequeños. El libro de C. Ehresmann de 1965 sobre "Categories structuree" daba una definición de las categorías dobles que expresaba esto muy bien. De hecho, he respondido a esto en mathoverflow como utilizando la notación matricial donde $(a_{ij})$ denota una matriz componible y $[a_{ij}]$ denota el compuesto. Así que se tiene una definición fácil de la $n$ -cubos del nervio de un $n$ -fold, con la salvedad de que actualmente no parece haber un nombre para la geometría de tipo cúbico que subyace a un $n$ -Categoría doble. Nótese que las secuencias componibles de morfismos en una categoría se utilizan para describir el nervio de una categoría, pero parece más difícil, al menos para mí, definir composiciones múltiples en términos simpliciales o globulares, aunque el nervio simplicial de una $n$ -La categoría doble se define fácilmente como una $n$ -conjunto simplicial.
Por el contrario, el complejo cúbico singular de un espacio, o espacio filtrado, es ideal para la descripción de composiciones múltiples, utilizando una notación de matriz. Ya lo he explicado en respuesta a este Pregunta de mathoverflow.
Por eso, a la hora de considerar la categoría en la que trabajar, la cuestión de "qué debe ser la adecuación y la conveniencia" es crucial. Es tan razonable preguntarse esto para los modelos combinatorios de la teoría de la homotopía como lo fue en 1963 preguntarse por las categorías para la topología en mi artículo Diez topologías .
Una propiedad que también se requería para la prueba conjetural de un supuesto teorema superior de van Kampen utilizando clases de homotopía de mapas era la noción de "cubo conmutativo", y que "cualquier composición de cubos conmutativos es conmutativa". Chris Spencer y yo descubrimos que la noción de "conexión" para un grupo doble era buena para esto, y que permitía una equivalencia entre los módulos cruzados y los grupos dobles simétricos de arista única con conexiones. Luego, Philip Higgins y yo encontramos en 1974 la construcción del doble groupoide homotópico de un par $(X,A,x)$ de los espacios puntuales mediante clases de homotopía de los mapas $I^2 \to X$ que llevan los bordes a $A$ y los vértices a $x$ . Con ello se obtuvo el primer doble grupo fundamental homotópico, que permitió demostrar el teorema de van Kampen en dos dimensiones, incluyendo el teorema habitual para el grupo fundamental como un caso especial, no sólo como una implicación.
Hay motivos para sugerir que los conjuntos simpliciales son convenientes, pero no son del todo adecuados, ya que no pueden expresar fácilmente las composiciones múltiples. Por otro lado, los conjuntos cúbicos con conexiones son adecuados para esta prueba, pero no son del todo convenientes. Andy Tonks demostró que los conjuntos cúbicos con conexión son complejos de Kan. Una de las razones del inconveniente es que, aunque se ha demostrado que forman una categoría de prueba estricta en el sentido de Grothendieck, en el trabajo dado aquí La realización geométrica del producto categórico es sólo del tipo homotópico del producto de las realizaciones, no es realmente homeomorfa al producto como en el caso de los conjuntos simpliciales. Esta última propiedad de homeomorfismo implica que en la categoría conveniente correcta, la realización geométrica de un conjunto simplicial es un grupo topológico.
La configuración cúbica tampoco es suficiente para describir la geometría subyacente $n$ -categorías de caras, y de hecho no parece haber actualmente ningún nombre para tal estructura en la que los cubos tienen diferentes tipos de caras en diferentes direcciones. Sin embargo, Grothendieck me comentó al afirmar el teorema de Loday, que (estrictamente) $n$ -Los groupoides de pliegues modelan la homotopía débil $n$ -tipos: "¡Esto es absolutamente hermoso!"
Así que es mejor no asumir que tenemos la historia final, e investigar las opciones.
Enero de 2015: Esta respuesta está relacionada con mi respuesta a
https://math.stackexchange.com/questions/1112107/why-does-seifert-van-kampen-not-hold-with-n-th-homotopy-groups/
Noviembre, 2016 Hay más discusión en este preprint Modelización y cálculo de tipos de homotopía: I .
