Orden de productos de elementos en grupos simétricos

Question

Dejemos que $n \in \mathbb{N}$ . ¿Es cierto que para cualquier $a, b, c \in \mathbb{N}$ satisfaciendo $1 < a, b, c \leq n-2$ el grupo simétrico ${\rm S}_n$ tiene elementos de orden $a$ y $b$ cuyo producto tiene orden $c$ ?

La afirmación es cierta al menos para $n \leq 10$ , ver aquí .

Actualización del 2 de septiembre de 2015: El 10 de agosto de 2015 Joachim König ha publicado a preimpresión al arXiv que da una respuesta positiva a la pregunta. Asumiendo que este preprint es correcto, esto responde completamente a la pregunta - y por lo tanto también el problema 18.49 en el Cuaderno Kourovka .

Actualización del 18 de junio de 2014: La afirmación es cierta al menos para $n \leq 50$ , ver aquí (archivo de texto de 4MB).

La lista de ejemplos en formato legible por GAP puede encontrarse aquí .

Añadido el 11 de diciembre de 2013: Esta pregunta aparecerá como Problema 18.49 en:

Cuaderno Kourovka: Problemas no resueltos de la teoría de grupos . Editores V. D. Mazurov, E. I. Khukhro. 18ª edición, Novosibirsk 2014.

Añadido el 24 de noviembre de 2013: ¿Realmente no se sabe lo suficiente sobre, por ejemplo, el coeficientes de multiplicación de clase de ${\rm S}_n$ para responder a esta pregunta?

Texto de la pregunta a partir del 12 de febrero de 2013:

Esta pregunta es una continuación de Orden de los elementos . La respuesta de Derek Holt a esta pregunta es bonita, pero parece que el grado de las permutaciones que da es mucho mayor de lo necesario.

Así, dados los números naturales $m, n, k > 1$ ¿Cuál es el menor $d$ tal que el grupo simétrico de grado $d$ tiene elementos de orden $m$ y $n$ cuyo producto tiene orden $k$ ? - Está claro que si el mayor de los números $m$ , $n$ , $k$ es primo, entonces $d$ debe ser como mínimo $\max(m,n,k)$ y hay algunos casos en los que $d$ en realidad debe ser mayor. Sin embargo, un cálculo rápido sugiere que $d = \max(m,n,k) + 2$ podría funcionar siempre. - Pero, ¿se mantiene este límite o uno similar?

EDIT: Ejemplos de grado mínimo para todos $m, n, k \leq 8, m \leq n$ se puede encontrar aquí .

Answer 1

El teorema principal de un artículo de G. A. Miller [1] es el siguiente:

TEOREMA. Si $l, m, n$ son tres enteros cualesquiera mayores que la unidad, de los cuales llamamos el mayor $k$ siempre es posible encontrar tres sustituciones $(L, M, N)$ de $k + 2$ o algún número menor de elementos y de órdenes $l, m, n$ respectivamente, de manera que $LM=N$ .

Lo que da una respuesta positiva a su pregunta.

Los trabajos [3], [4], [5] de Brenner y Lyndon dan una prueba diferente del resultado de Miller, y consideran el problema de encontrar para $l,m,n > 1$ el más pequeño $d$ tal que $S_d$ contiene permutaciones $x,y$ con $(|x|, |y|, |xy|) = (l,m,n)$ . Otros resultados relacionados se encuentran, por ejemplo, en [2] y [6].

Los trabajos [8], [9] también ofrecen una demostración del teorema de Miller. También en [7], aunque parece que sin asumir permutaciones de grado $\leq \max(l,m,n)+2$ en algunos casos.

El teorema principal de [10] construye para $l,m,n > 1$ elementos $A,B \in PSL(2,q)$ (para una adecuada $q$ ) tal que $|A| = l$ , $|B| = m$ et $|AB| = n$ . La construcción señalada por Derek Holt aquí es similar pero un poco más corto. Otra construcción con matrices se encuentra en [11].

Referencias:

[1] MR1505829 G. A. Miller, On the Product of Two Substitutions. Amer. J. Math. 22 (1900), no. 2, 185-190. JSTOR

[2] MR1505882 G. A. Miller, Groups Defined by the Orders of Two Generators and the Order of their Product. Amer. J. Math. 24 (1902), no. 1, 96-100. JSTOR

[3] MR0767585 J. L. Brenner, R. C. Lyndon, Un teorema de G. A. Miller sobre el orden del producto de dos permutaciones. I. Jñānābha 14 (1984), 1-16. enlace

[4] MR0809272 J. L. Brenner, R. C. Lyndon, A theorem of G. A. Miller on the order of the product of two permutations. II. El grado mínimo en el caso a=2. Indian J. Math. 26 (1984), no. 1-3, 105-133 (1985).

[5] MR0748120 J. L. Brenner, R. C. Lyndon, A theorem of G. A. Miller on the order of the product of two permutations. III. The minimal degree in case a>2. Pure Appl. Math. Sci. 20 (1984), no. 1-2, 37-51.

[6] MR0743150 J. L. Brenner, R. C. Lyndon, Las órbitas del producto de dos permutaciones. European J. Combin. 4 (1983), no. 4, 279-293. DOI

[7] MR0053937 R. H. Fox, On Fenchel's conjecture about F-groups. Mat. Tidsskr. B 1952 (1952), 61-65. JSTOR

[8] MR3508006 J. König, A note on the product of two permutations of prescribed orders. European J. Combin. 57 (2016), 50-56. DOI

[9] MR3694453 J. Pan, Sobre una conjetura acerca de los órdenes de productos de elementos en el grupo simétrico. J. Pure Appl. Algebra 222 (2018), nº 2, 291-296. DOI

[10] MR0283093 R. D. Feuer, Torsion-free subgroups of triangle groups. Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971), 235-240. DOI

[11] MR0207852 J. Mennicke, A remark on Fuchsian groups. Inventar. Math. 2 (1967), 301-305. DOI

Answer 2

Mientras tanto, la pregunta ha sido respondida positivamente en:

Joachim König, Una nota sobre el producto de dos permutaciones de órdenes prescritas . European Journal of Combinatorics 57 (2016), 50-56.

La prueba hace una distinción de casos basada en la menor $n$ tal que hay elementos de órdenes dados $a \leq b \leq c$ en el grupo simétrico en $n$ puntos cuyo producto es la identidad:

1. $n = c$ es suficiente,

2. $n = c+1$ es necesario y suficiente, y

3. $n = c+2$ es necesario.

Analiza los distintos subcasos y utiliza el Corolario 4.4 y el Lemma 4.5 de

A.L. Edmonds, R.S. Kulkarni, R.E. Stong: Realización de la ramificación de superficies ramificadas . Trans. Amer. Math. Soc. 282(2) (1984), 773--790.

Answer 3

En primer lugar, permítanme parafrasear la pregunta. Dados unos enteros $m,n,k$ cada uno de ellos al menos 2, establecer $d:=\max(m,n,k)+2$ . ¿Existen elementos $a,b$ en el grupo simétrico $S_d$ tal que $|a|=m$ , $|b|=n$ y $|ab|=k$ ?

Es conveniente escribir $c=ab$ . Un simple argumento muestra que podemos suponer $m\leq n\leq k$ y $d=k+2$ . [La ecuación $b*a=bcb^{-1}$ muestra que podemos intercambiar $m$ y $n$ como $|bcb^{-1}|=k$ . La ecuación $a^{-1}c=b$ muestra que podemos intercambiar $n$ y $k$ como $|a^{-1}|=m$ . Por lo tanto, podemos suponer $m\leq n\leq k$ .]

Es fácil demostrar el resultado para casos pequeños como $m=n=2$ . Con estas sencillas ideas se puede simplificar y ampliar la tabla de datos de Stefan. Parece que puede haber resultados ya en la literatura. ¿Puede ayudar algún experto? ¿Qué pasa con el caso especial cuando $m,n,k$ ¿son cada una de ellas potencias del mismo primo?