Dejemos que $f_n(x) = x^n.$
$f_n(x)$ converge uniformemente en $[0,r]$ para $r<1.$
Prueba: Dado que $r < 1,$ $r^n \rightarrow 0 $ como $n \rightarrow\infty.$ Entonces, para un determinado $\varepsilon >0 $ podemos elegir $M\in N$ tal que $r^n<\varepsilon$ para todos $n\ge M.$ Además, para $x\in[0,r], x\le r$ Entonces, para $n\ge M, |x^M-0|\le|r^M| = r^M<\varepsilon.$
- La definición de convergencia uniforme es $\forall\varepsilon>0,\exists M$ s.t. si $n\ge M, |x^n-0|<\varepsilon$ para todos $x\in S.$ Pero, en mi texto, utiliza $|x^M-0|$ en lugar de $|x^n-0|.$ ¿Hay alguna razón para ello? ¿Puedo utilizar $|x^n-0|?$
Mientras que $f_n(x)$ converge uniformemente en el dominio anterior, no converge uniformemente en $[0,1).$
Prueba: Supongamos que $f_n$ converge uniformemente. Elige $\varepsilon = 1/2. $ Entonces, $\exists M$ tal que para $n\ge M, |x^n-0| <1/2$ para todos $x\in[0,1).$ Implica $x^n<1/2 \rightarrow x<(1/2)^{\frac1n}$ pero $\exists x$ tal que $(1/2)^{\frac1n}<x<1$ . Por lo tanto, es una contradicción.
- Sin embargo, me pregunto por qué esta prueba no se aplica al primer caso. Por ejemplo, si $r= 0.\overline{9},$ el primer caso y el segundo parecen iguales. ¿Podría explicar la diferencia entre el primer y el segundo caso?
Gracias de antemano.
