¿Bastan estas dos observaciones para demostrar que un anillo booleano finito debe ser de la forma $\mathbb{Z}_2\times\cdots\times\mathbb{Z}_2$ ?

Question

Pregunta: Si $R$ es un anillo booleano finito, entonces demuestre $R \cong \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \times \cdots\times \mathbb Z_2$ .

Sé que

1. $\mathrm{char}(R) =2$

2. $R$ tiene $2^k$ elementos para algunos $k$ (esto se debe a que, si $p\neq 2$ es un primo con $p\mid|R|$ entonces existe un $x \in R$ s.t. $px=0$ et $p$ es impar $\implies x=0$ , contradicción).

¿Basta con esto para responder a mi pregunta?

Answer 1

Una vez que sepas que $R$ tiene la característica $2$ será un espacio vectorial (un álgebra, en realidad) sobre el campo $F$ con $2$ elementos, de dimensión $d$ digamos. Así que $R$ tiene $2^d$ elementos.

Para cada $a \in R$ , considere el mapa lineal $T_a : R \to R$ dado por $u \to au$ . Tenga en cuenta que $a \mapsto T_a$ da un morfismo de anillos de $R$ a $\operatorname{End}(R)$ (son los endomorfismos de $R$ como un espacio vectorial sobre $F$ ). Este morfismo es inyectivo porque $T_a(a) = a$ por lo que su núcleo es $0$ . Si $S$ es su imagen, entonces $R$ es isomorfo a $S$ .

Desde $S$ es conmutativo, y todos sus elementos son raíces de $x^2-x$ los elementos de $S$ se puede diagonalizar simultáneamente, con $0$ et $1$ en la diagonal. Hay $2^d$ matrices como esta, y $R \cong S$ tiene $2^d$ elementos, por lo que $S$ es el anillo completo de matrices diagonales. Elija la base (canónica) $T_{a_{1}}, \dots, T_{a_{d}}$ de manera que todos los $T_{a_{i}}$ tienen sólo una $1$ en la diagonal (que corresponde a $T_{a_i}(a_i) = a_i^2=a_i$ ).

Entonces con respecto a la base ${a_{1}}, \dots, {a_{d}}$ el anillo $R$ tiene la forma que usted requiere, porque $a_i a_j = 0$ para $i \ne j$ .

Supongo que esto es sólo una versión para este caso de Teorema de la representación de Stone .

Answer 2

No, no es suficiente, porque (por ejemplo) el campo finito con $2^k$ elementos, $\mathbb{F}_{2^k}$ satisface las dos propiedades enumeradas, y esto no es isomorfo a $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^k$ cuando $k>1$ porque en $\mathbb{F}_{2^k}$ el ideal cero es primo.

Otro contraejemplo sería $\mathbb{F}_2[x]/(x^k)$ . Podemos ver que esto no es isomorfo a $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^k$ cuando $k>1$ porque cualquier elemento de $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^k$ es idempotente, mientras que esto no es cierto para $\mathbb{F}_2[x]/(x^k)$ .