Verificación de la convergencia de una serie relacionada con los armónicos

Question

Encuentro la siguiente serie pero no sé si es cierta. Para $p=0,1,2,3,\cdots$ , $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left\{\left(\sum_{j=i}^n\frac{1}{j}\right)^p\right\} = p! $$ Es fácil de verificar para $p=0$ ou $1$ . Para $p \ge 2$ En este caso, he intentado evaluar la serie con este código de R, y el resultado parece prometedor.

par(mfrow = c(3, 3))
n <- 1:1000 * 100
f <- function(n, p){ mean(cumsum(1/(n:1))^p) }
f <- Vectorize(f)
for (p in 1:9){
  plot(n, f(n, p))
  abline(h = factorial(p))
}

¿Le resulta familiar esta serie? ¿Puede ayudarme a probarlo o darme algunas sugerencias?

Answer 1

Su conjetura no es difícil de probar, ya que

$$ \sum_{j=i}^{n}\frac{1}{j}=H_n-H_{i-1}=-\log\left(\frac{i-\frac{1}{2}}{n+\frac{1}{2}}\right)+O\left(\frac{1}{i^2}+\frac{1}{n^2}\right) $$ y por sumas de Riemann $$ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left[-\log\left(\frac{i-\frac{1}{2}}{n+\frac{1}{2}}\right)\right]^p \to \int_{0}^{1}\left(-\log x\right)^p\,dx=p!.$$