¿Por qué todas las representaciones irreducibles de grupos compactos son de dimensión finita? [EDIT: Sutilezas: AC,etc]

Question

Hace unos 20 años leí en un libro de texto que "todas las representaciones irreducibles de grupos compactos son de dimensión finita", pero yo y la prueba de este hecho nunca nos conocimos :)

Puedo preguntar a los queridos colegas de MO, ¿hay algún argumento (simple?) para demostrarlo?

Por lo que he oído, este resultado puede generalizarse en el ámbito de la geometría no conmutativa, grupos cuánticos compactos de Woronowicz (?).

Así que la pregunta "extra" - ¿cuál es la condición de "compacidad" apropiada para algún álgebra (y/o álgebra de Hopf) tal que garantice la misma propiedad (es decir, todos los irreps son finito-dim.) ?

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[EDITAR] ¡Muchas gracias por las excelentes respuestas! Permítanme preguntar sobre algunos detalles más, para aclarar finalmente.

1) ¿Cuál es la máxima relajación posible del requisito sobre el espacio vectorial V? ¿Basta con exigir un espacio topológico espacio topológico lineal o necesitamos restringirlo a Hausdorff (?) Banach (?) Hilbert (?), cualquier espacio? (Parece que las restricciones sobre el espacio pueden venir del lema de Schur, no está claro para mí cuál es la generalidad apropiada que sostiene).

2) ¿Necesitamos aquí un axioma de elección? (Probablemente no, necesitamos la existencia de la medida de Haar, pero Wikipedia escribe que "Henri Cartan aportó una prueba de la existencia de la medida de Haar que evitaba el uso de la CA[4]".

3) Informalmente: ¿cuál es la herramienta más difícil que se utiliza en la prueba? (¿Puede ser la existencia de la medida de Haar?)

[END EDIT].

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[EDITAR]

Permítanme añadir un esbozo de los argumentos de Aakumadula, tal y como yo lo entiendo. Podría ser útil para aclarar nuevas cuestiones.

1) Herramienta: Las funciones continuas sobre el grupo pueden ser mapeadas a operadores sobre V. (Necesita medida aquí). (El álgebra de grupo actúa sobre V).

2) Hecho: La función continua será mapeada a operadores COMPACTOS. (En R^n sé cómo demostrarlo, en general no).

3) Observar: La función invariante de conjugación se asigna a operadores que conmutan con la acción del grupo.

4) Lemma de Schur: los operadores que conmutan con el grupo en irrep son Lamda*Id. (¿Qué necesitamos del espacio V para que esto sea cierto? )

5) Corolario: Si encontramos una función continua invariante que se mapea en NO cero en V, entonces hemos terminado, porque por (2) es un operador compacto y por (4) es Lambda*Id.

Así que necesitamos encontrar una función invariante que sea distinta de cero en V.

6) Tomar una "identidad aproximada" arbitraria, es decir, una secuencia de funciones continuas (no invariantes) f_n que convergen como funcionales a la función delta en la identidad del grupo. (Es un hecho local, pero ¿cómo demostrarlo? ¿Necesitamos aquí el axioma de elección?)

7) Hacer la media sobre el grupo de f_n - obtener secuencia de funciones continuas INVARIANTES que de nuevo convergen a detla(e), ya que delta(e) es invariante.

8) Los operadores T(f_n) convergen al operador identidad, por tanto para algún N son NO CERO. ¡Hemos terminado por (5) ! Porque T(f_N) es compacto y Lambda*Id y Lambda es NO CERO.

[Fin EDIT].

Answer 1

(Abordando sólo la cuestión del título.) Hay es una breve demostración evitando a Peter-Weyl y la teoría de los operadores compactos. Se debe a Nachbin y se reproduce en Hewitt-Ross, Análisis armónico abstracto 1 , p. 344. Una ligera simplificación de la misma es la siguiente: Elige un vector unitario $v$ en su espacio de representación $V$ . El lema de Schur da $$\int_G gv(gv,\cdot)dg = \lambda1 \tag 1$$ donde $\lambda = \int_G|(v,gv)|^2dg>0$ (intercalando (1) con $(v,\cdot v)$ ). Ahora dejemos que $W\subset V$ sea de dimensión finita, y escriba $E=E^2$ para la proyección ortogonal $V\to W$ . Obtenemos $$\int_GEgv(gv,E\cdot)dg = \lambda E, \tag 2$$ de donde, tomando las trazas en (2), $\lambda\dim(W)=\int_G\|Egv\|^2dg\leqslant\operatorname{vol}(G)$ . Así, la dimensión de cualquier subespacio de dimensión finita está acotada, como se iba a demostrar.

Answer 2

[Primera prueba] Me ocuparé sólo de la primera parte. Supongamos que $G$ es un grupo compacto y $\pi : G \rightarrow U(H)$ una representación unitaria irreducible en un espacio de Hilbert $H$ . Supongamos que $\phi$ una función continua en $G$ . Entonces es fácil demostrar que $\pi (\phi)$ es un operador compacto en $H$ .

Ya que el OP ha pedido una aclaración, permítanme decir: la convolución por funciones continuas en $L^2(G)$ donde $G$ un grupo COMPACTO, es un operador compacto. Este hecho se utiliza en todas las pruebas de Peter-Weyl. La prueba consiste en mostrar que la convolución es un $L^2$ y cualquier $L^2$ función en $G\times G$ puede aproximarse en $L^2$ mediante funciones simples (combinación lineal de funciones char de la forma $E\times F$ donde $E,F$ son subconjuntos medibles de $G$ ), cada uno de estos núcleos simples tiene una imagen de dimensión finita y, por tanto, son operadores compactos. Esto es material estándar en cualquier libro de análisis funcional (de hecho, el libro de Kirillov).

Lo que he utilizado es que para un grupo compacto, cualquier representación unitaria irreducible es un sub de la representación regular (ver los comentarios), y por lo tanto $\pi (\phi)$ que es una convolución por $\phi$ es un operador compacto.

Si $(\phi _{\epsilon} )$ es una identidad aproximada en $G$ que consiste en funciones continuas de valor real invariantes de conjugación sobre $G$ entonces $\pi (\phi _{\epsilon})$ es una secuencia de operadores compactos (que son escalares debido a la irreductibilidad) que convergen débilmente a la identidad, y por tanto el operador identidad también es compacto. Por lo tanto, $H$ es de dimensión finita.

Lo menciono porque esto no utiliza el teorema de Peter-Weyl (pero utiliza ideas de la prueba).

[Segunda prueba] Si se utiliza el teorema de Peter-Weyl, la prueba de la dimensionalidad finita es fácil. Peter Weyl dice que $L^2(G)$ es un espacio de Hilbert suma directa de representaciones irreducibles de dimensión FINITA de $G$ . La suma directa algebraica $X$ es entonces un subespacio denso de $L^2(G)$ . Si una irrep. dimensional infinita $H$ existiera, todavía estaría en $L^2(G)$ pero por ortogonalidad de Schur (otro uso del lema de Schur) las funciones en $H$ sería ortogonal a las funciones en $X$ , una contradicción, ya que $X$ es denso.

[Observación] si $G$ es ya un subgrupo cerrado de $U(n)$ y $V$ es el representante estándar de $U(n)$ entonces por el teorema de Stone-Weierstrass, $V$ , $V^*$ y subs irreducibles de sus potencias tensoriales, estarán todos en $L^2(G)$ y será denso en el espacio de funciones continuas sobre $G$ . Y por lo tanto estas funciones de representación $Y$ será denso en $L^2(G)$ . Así que los vectores en $H$ no puede ser ortogonal a los elementos de $Y$ . Todo esto es material estándar en cualquier libro sobre el teorema de Peter-Weyl (realmente trabajado en el libro de Kirillov) y sugiero que el OP los mire

[La prueba dada por François Ziegler es la más sencilla, en mi opinión. .

Answer 3

En los comentarios se pregunta por los semigrupos. La respuesta es que un semigrupo compacto no puede tener reps no triviales de dimensión finita. Tomemos el intervalo unitario con min. Entonces, como es conexo, su imagen bajo un rep es conexa. Pero es idempotente y conmutativo y por tanto simultáneamente diagonalizable. Pero sólo hay un número finito de idempotentes diagonales por lo que la imagen es un punto. Más generalmente se pueden separar los puntos de un semigrupo inverso compacto si los idempotentes son totalmente desconectados.

Answer 4

Aquí hay un argumento directo bastante fácil. Dejemos que $X$ sea una representación unitaria de un grupo compacto $G$ . Observamos que para cualquier operador de rango finito $T$ en $X$ , $g\mapsto gTg^{-1}$ es un mapa normocontinuo $G\to B(X)$ . Esto se debe a que $T$ es una suma de operadores de la forma $\langle -, u\rangle v$ que se conjugan con $\langle -, gu\rangle gv$ y $g\mapsto gv$ es continua para cualquier norma fija $v$ (el mapa $G\to U(X)$ es un operador fuerte continuo).

Ahora dejemos que $T$ sea cualquier operador positivo de rango finito sobre $X$ . Al promediar los conjugados de $T$ en $G$ obtenemos un operador invariante positivo $\tilde{T}$ . Por la continuidad señalada anteriormente y la compacidad de $G$ , $\tilde{T}$ puede aproximarse en norma por "sumas de Riemann" finitas de conjugados de $T$ y, por lo tanto, es compacto.

Si $X$ es irreducible, $\tilde{T}$ tiene que ser un múltiplo de la identidad. Como $\tilde{T}$ es compacto, se deduce que $X$ es de dimensión finita. De forma más general, los eigenspaces de $\tilde{T}$ dan subrepresentaciones de dimensión finita de cualquier representación, y se deduce fácilmente que toda representación unitaria es una suma de representaciones irreducibles (que son de dimensión finita).