Tronco natural y L'Hopitals $x^x$

Question

Necesito que alguien me diga el paso que me falta o que hago mal. El problema es:

$$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { x }^{ x } } $$

$1$ . $\ln x^x$

$2$ . $x\ln { x } $

$3$ . Este es el paso que no sigo: $\frac { \ln { x } }{ \frac { 1 }{ x } } $

Se me ocurre: $\frac { \ln { x } }{ x } $ en este punto.

Me falta este paso en todo lo natural $\log$ /l'hopitals problemas que trabajo. Elegí el más simple para facilitar la explicación, si alguien podría ser tan amable?

Answer 1

$$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { x }^{ x }= } \lim _{ x\rightarrow 0 }{ { e }^{ x\ln { x } }= } \lim _{ x\rightarrow 0 }{ { e }^{ \frac { \ln { x } }{ \frac { 1 }{ x } } }\overset { L'h\quad rule }{ = } } \lim _{ x\rightarrow 0 }{ { e }^{ \frac { \frac { 1 }{ x } }{ -\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } }= } \lim _{ x\rightarrow 0 }{ { e }^{ -x }=1 } $$

Answer 2

Incluso sin L'Hospital, considerando $$A=x^x \implies \log(A)=x \log(x)\implies \log(A)\to 0\implies A \to 1$$

Answer 3

Interpreto que su pregunta se refiere a cómo $$x\ln x =\frac{\ln x}{\frac1x}$$

Aquí, están usando la regla de que $\displaystyle x = \frac1{\frac1x}$ y que $\frac1b \cdot a = \frac ab$

Eso significa que, con un poco más de pasos, tenemos $$x\cdot \ln x = \frac1{\frac1x}\cdot \ln x = \frac{\ln x}{\frac1x}$$

La razón por la que esto es útil, es que el límite ahora da una forma indeterminada que califica para L'Hopital.