Método Gauss Seidel de un paso

Question

Aplica un paso del método de Gauss Seidel a $A\textbf{x} = b$ con A = $\begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$, b = $\begin{bmatrix} 4\\ 5\\ 8 \end{bmatrix}$ $x_{0}$ = $\begin{bmatrix} 64\\ 64\\ -128 \end{bmatrix}$ ¿El método converge a la solución?

Para responder a la pregunta, esto es lo que hice...

$$x_{1} = \frac{4 - 2x_{2} - x_{3}}{4} => x_{1} = \frac{4-2(64)+128}{4} = 1$$ $$x_{2} = \frac{5-x_{1}-x_{3}}{4} = \frac{5-1+128}{4} = 33$$ $$x_{3} = \frac{8-x_{1}-2x_{2}}{4} = \frac{8-1-66}{4} = -59/4$$

¿Lo hice bien? Si no, estoy confundido. ¿Alguien puede ayudarme a hacer esto correctamente? Gracias.

Answer 1

Sí, tu primera iteración es correcta. Aquí hay algunas iteraciones y detalles.

Iteración 1:

$$\left( \begin{array}{cccccccccc} 1. \\ 33. \\ -14.75 \end{array} \right)$$

Iteración 2: $$\left( \begin{array}{cccccccccc} -11.8125 \\ 7.89063 \\ 1.00781 \end{array} \right)$$

Iteración 3:

$$\left( \begin{array}{cccccccccc} -3.19727 \\ 1.79736 \\ 1.90063 \end{array} \right)$$

... Iteración 10: $$\left( \begin{array}{cccccccccc} 0.208341 \\ 0.812503 \\ 1.54166 \end{array} \right)$$

Puedes comparar esto con el resultado actual de:

$$x = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{24} \\ \frac{13}{16} \\ \frac{37}{24} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0.208333 \\ 0.8125 \\ 1.54167 \\ \end{array} \right)$$