Toda álgebra es la suma de sus subcoalgebras de dimensión finita

Question

En el artículo sobre el álgebra en Wikipedia dice que

Toda álgebra es la suma de sus subcoalgebras de dimensión finita

Quiero saber cómo probar esto pero no tengo ni idea de por dónde empezar.

Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

$\bullet$ En primer lugar, tenga en cuenta que si $C$ es una álgebra y $(C_{α})_{α}$ una familia de subcoalgebras, entonces su suma $\sum_{α}C_{α}$ es también una subcoalgebra, porque $$ \Delta(\sum_{α}C_{α}) = \sum_{α}\Delta(C_{α}) \subseteq \sum_{α} C_{α} \otimes C_{α} \subseteq (\sum_{α}C_{α}) \otimes (\sum_{α}C_{α}) $$

$\bullet$ En segundo lugar, hay que tener en cuenta que toda álgebra es localmente finito (la terminología se debe a Sweedler). A menudo se denomina teorema fundamental de las álgebras , declarando que:

Cada elemento de una álgebra $C$ está contenida en una subcoalgebra de dimensión finita.

(la demostración del teorema fundamental sobre las álgebras de carbón es estándar y se puede encontrar en casi todos los textos de introducción a las álgebras de carbón y a las álgebras de Hopf, véase por ejemplo el libro de S.Montgomery, "Hopf algebras and their actions on rings", p.56 o el libro de Dascalescu-Nastasescu-Raianu, "Hopf algebras: an introduction", p.25).

Ahora, combinando los dos anteriores, es fácil concluir el enunciado de su pregunta.

P.D: En realidad, ten en cuenta que, el teorema fundamental de las álgebras implica algo aún más general que tu afirmación: "toda coalgebra es la unión de sus subcoalgeb-ras de dimensión finita" . (véase también el libro de Sweedler sobre las álgebras de Hopf, p.170).

Answer 2

No estoy familiarizado con las coalgebras, en particular si tienen -subcoalgebras de dimensión finita, así que aquí hay una respuesta muy vaga pero espero que motivadora.

Supongamos que tenemos una álgebra de dimensión infinita $\mathcal C$ con una secuencia de subcoalgebras de dimensión finita $C_1 \subset C_2 \subset \ldots$ tal que dim $(C_n)$ aumenta hasta el infinito y tal que $\mathcal C = \bigcup C_n$ . Para simplificar, supongamos que no hay otras subcoalgebras. ¿Qué podría significar decir $\mathcal C$ es la suma de sus álgebras de dimensión finita?

Naievely podríamos intentar $\mathcal C = C_1 \oplus C_2 \oplus \ldots$ pero esto parece una cosa bastante extraña. Porque las encarnaciones de $C_1$ y $C_2$ dentro de $\mathcal C$ compartir elementos. En particular, seleccione cualquier elemento de $c \in C_1$ . La suma contiene los dos elementos distintos $(c,0,0, \ldots)$ y $(0,c,0,\ldots)$ que no parecen corresponder a nada en particular en el original $\mathcal C$ .

El problema aquí es que $C_n$ se cruzan y nuestra suma directa ignora ese hecho. La forma de reconocerlo es utilizando límites directos . Lo que hacemos es considerar la colección $\mathcal \{G(i): i \in I \}$ de todas las subcoalgebras de dimensión finita y los mapas de inclusión $\{F^i_j \colon G(i) \to G(j)\}$ . El límite directo es una forma de "pegar" todas las álgebras.

Deberías buscar la construcción específica de los límites directos de las álgebras. Pero sospecho que es similar a la habitual para las estructuras algebraicas. . . .

Considere el conjunto $D$ de todos los elementos de $\bigcup_i G(i)$ bajo la relación de equivalencia más débil generada por todas las relaciones $x \sim ^i_j y$ si $x \in G(i), y \in G(j)$ son tales que $F^i_j(x)=y$ . Definir la comulgación y el conteo por separado en cada $G(i)$ . Se trata de un ejercicio para mostrar la extensión de forma consistente al conjunto $D$ . Entonces $D$ es nuestro límite directo.

Considere cómo la construcción anterior se simplifica para $\mathcal C$ . En ese caso $\bigcup_i G(i)$ es sólo una cadena.

Editar: Este de nLab afirma que se puede encontrar una prueba de una afirmación similar a la anterior, llamada teorema fundamental de las álgebras, en Walter Michaelis, Coassociative Coalgebras, Handbook of Algebra Volume 3, Elsevier (2003).