Convergencia en espacios de Sobolev localizados $H^m_{loc}$

Question

Mi pregunta es cómo obtener la convergencia (fuerte) en los espacios de Frechet $H^m_{loc}(\Omega)$ , $m\ge1$ utilizando el siguiente resultado encontrado en Lions (Perturbations Singulières dans les Problèmes aux Limites et Contrôle Optimal, p. 121), tomando m=1 para simplificar:

Si

1) $u_\varepsilon\to u$ en $L^2_{loc}(\Omega)$ ,

2) $\varepsilon^{1/2}u_\varepsilon$ está acotado en $H^1_{loc}(\Omega)$ ,

3) $-\varepsilon \Delta u_\varepsilon+u_\varepsilon$ está acotado en $H^1_{loc}(\Omega)$ .

Entonces,

(a) $\varepsilon^{1/2}u_\varepsilon$ está acotado en $H^2_{loc}(\Omega)$ ,

(b) $u_\varepsilon$ está acotado en $H^1_{loc}(\Omega)$ .

Además, esto implica que $u_\varepsilon\to u$ en $H^1_{loc}(\Omega)$ .

Mi problema es con la última afirmación, sí veo cómo conseguir la convergencia en $H^1_{loc}(\Omega)$

Answer 1

Es falso. Si usted toma $v_n=\frac1{n^{1/2}}\chi_{[0,1/n]}$ et $u_n(x)=\int_0^x v_n(s)\,dx$ , tienes que $v_n$ está acotado en $L^2(\mathbb{R})$ con norma $1$ y así $u_n$ está acotado en $H^1_{loc}(\mathbb{R})$ pero $u'_n=v_n$ no converge en el conjunto compacto $[0,1]$ ya que converge a cero pero su $L^2$ norma en $[0,1]$ es $1$ .
La secuencia del libro de los Leones tiene varias propiedades adicionales.