Prueba $(A \cap B) \cup (A \cap B')= A$ utilizando las Identidades de Conjunto

Question

Recientemente he empezado un curso de Matemáticas Discretas en la universidad y estoy teniendo algunas dificultades con una de las preguntas de los deberes. Necesito aprenderlo, así que por favor guíenme en al menos dos pasos para que me salga bien.

La pregunta dice: Demuestre que si $A$ et $B$ son conjuntos, entonces: $(A \cap B) \cup (A \cap B')=A$

Se supone que debemos utilizar las identidades de los conjuntos. Tenía una pregunta anterior, pero era simple: $(A \cap B \cap C)' = A'\cup B' \cup C'$ - Que sería una de las leyes de De Morgan.

Estoy perdido. He estado leyendo el libro de texto y he intentado buscar algunos vídeos, pero no sé exactamente por dónde empezar. ¡Cualquier ayuda que pueda proporcionar, será muy apreciada!

Gracias, Kei

Answer 1

La idea es conseguir acercarse $B$ et $B^c$ . Entonces utilizamos la propiedad distributiva: $(A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A\cap (B\cup B^c)=A\cap X=A $ , con $X$ el universo

Answer 2

Considere un elemento de $A$ - o bien está en $B$ o no lo es, y por lo tanto está en el complemento de $B$ . Así, $A \subset (A \cap B)$ $\cup$ $(A \cap B')$ . Ahora, intenta argumentar por tu cuenta que la "inclusión" inversa es válida: que tenemos $A \supset (A \cap B)$ $\cup$ $(A \cap B')$ .

Answer 3

Puede utilizar identidades como $(A\cap B) \cup (A \cap C) = A \cap (B \cup C)$ para conseguir $(A \cap B) \cup (A \cap B') = A \cap (B \cup B') = A \cap U = A$ .

Pero prefiero pensar en qué está diciendo. $A \cap B$ significa "todo en A y en B" y $A \cap B'$ significa "todo lo que está en A que no está en B" y $(A\cap B) \cup (A \cap B')$ significa "todo lo que está en A y B combinado con todo lo que no está en B". ¿Hay alguna razón lógica para que "todo lo que está en A y B combinado con todo lo que está en A y no está en B" sea "A"?

Bueno, espero que sea obvio. Todo lo que hay en A está en B o no está en B, así que combinando los elementos de A que no están en B con los que sí lo están deberías obtener todos los elementos de A.

Así que la mejor manera de expresar esa idea directamente sería:

$A = A \cap U = A \cap (B \cup B') = (A \cap B) \cup (A\cap B')$ . O si eso es demasiado abstracto, me gusta más hacer una prueba elemento por elemento:

Dejemos que $x \in A$ o bien $x \in B$ o $x \in B'$ . Si $x \in B$ entonces $x \in A \cap B$ . Si $x \in B'$ entonces $x \in A \cap B'$ . De cualquier manera $x \in A \cap B$ o $x \in A\cap B'$ así que $x \in (A \cap B) \cup (A\cap B)$ . Así que $A \subseteq (A\cap B) \cup (A \cap B)$ . Asimismo, si $y \in (A \cap B) \cup (A\cap B)$ entonces $y \in (A \cap B) \subset A$ o $y \in (A\cap B') \subset A$ . De cualquier manera, $y \in A$ así que $(A\cap B)\cup (A\cap B') \subseteq A$ .

$A \subseteq (A\cap B) \cup (A \cap B)$ et $(A\cap B)\cup (A\cap B') \subseteq A$ Así que $$(A\cap B)\cup (A\cap B') = A$ .

Una cuarta vía es la de las grandes armas.

Dejemos que $x \in U$ ahora puede pasar una de estas cuatro cosas:

1) $x \in A$ et $x \in B$ . Entonces $x \in A$ et $x \in A\cap B$ et $x \in (A \cap B) \cup (A \cap B')$ .

2) $x \in A$ et $x \not \in B$ . Entonces $x \in A$ et $x \in B'$ et $x \in A \cap B'$ et $x \in (A \cap B) \cup (A \cap B')$

3) $x \not \in A$ et $x \in B$ . Entonces $x \not \in A$ et $x \not \in A \cap B$ et $x \not \in A \cap B'$ así que $x \not \in (A \cap B) \cup (A \cap B')$ .

4) $x \not \in A$ et $x \not \in B$ . Entonces $x \not \in A$ et $x \not \in A \cap B$ et $x \not \in A \cap B'$ así que $x \not \in (A \cap B) \cup (A \cap B')$ .

Al observar los cuatro casos vemos $x \in A \iff x \in (A \cap B) \cup (A \cap B')$ . Así, $A$ et $(A \cap B) \cup (A \cap B')$ tienen precisamente los mismos elementos y ninguno tiene ningún elemento que el otro no tenga. En otras palabras, $A = (A \cap B) \cup (A \cap B')$ .