Aclaración de la descomposición parcial de las fracciones

Question

Sólo busco una aclaración general para los siguientes casos. Ahora, hasta donde yo sé, los siguientes ejemplos de fracciones parciales se dividirían de la siguiente manera: \begin{align} \frac{1}{x^2+3x-4}&=\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-1},\tag{1}\\ \frac{1}{x^3+x^2}&=\frac{1}{x^2\left(x+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1},\tag{2}\\ \frac{1}{x^2\left(x+1\right)^3}&=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{\left(x+1\right)^2}+\frac{E}{\left(x+1\right)^3},\tag{3}\\ \frac{1}{x^2\left(x^2+x+1\right)}&=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1},\tag{4}\\ \frac{1}{x^2\left(x^3+x^2+x+1\right)^2}&=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx^2+Dx+E}{x^3+x^2+x+1}+\frac{Fx^2+Gx+H}{\left(x^3+x^2+x+1\right)^2},\tag{5} \end{align} ¿me he equivocado en algo?

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EDIT: Debería haber tenido en cuenta $\left(5\right)$ más para conseguir \begin{align} \frac{1}{x^2\left(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\right)^2}. \end{align}

Answer 1

$$ x^3+x^2+x+1 = x^2(x+1) + 1(x+1) = (x^2+1)(x+1) $$ Así que $$ \frac{\cdots\cdots\cdots}{x^3+x^2+x+1} = \frac{Cx+D}{x^2+1} + \frac{E}{x+1}. $$