¿Por qué la continuidad uniforme de una función implica que la función está acotada?

Question

Como dice el título, me pregunto por qué:

Si $A$ es un subconjunto acotado de $\mathbb{R}$ y $f:A\to \mathbb{R}$ es uniformemente continua en $A$ entonces $f$ debe estar acotado en $A$ .

Prueba :

Como es uniformemente continua, la función es una función Lipschitz.

$|f(x)-f(y)| \leq L|x-y|$ .

Desde $A$ está acotado, $|x-y|$ no se hace arbitrariamente grande y también está limitada por una constante. Sea $|x-y| \leq M$ .

Entonces tenemos una condición de Lipschitz donde

$|f(x)-f(y)| \leq LM$ .

La función está entonces limitada por el producto de dos constantes, $LM$ lo que significa que está acotado. ¿Puede alguien comprobarlo?

Answer 1

Una pista: Desde $f$ es uniformemente continua, existe una constante $M$ para que $$ |x-y|\le1\implies|f(x)-f(y)|\le M $$ Así, $f$ está acotado en cada intervalo $[k,k+1]$ . Desde $A$ está acotado, se puede cubrir con un número finito de tales intervalos.

Answer 2

Si no es así $\forall~n\in\mathbb Z^+,~\exists~a_n\in A$ tal que $f(a_n)>n.$

$(a_n)_n$ al estar acotado tiene una subsecuencia convergente $(a_{r_n})_n.$

Así, $(a_{r_n})_n$ es una secuencia de Cauchy en $A$ que se asigna a un no Secuencia de Cauchy en $\mathbb R,$ una contradicción.