Motivación.
Hace poco estuve revisando la sección 3.10 de la mecánica cuántica de Sakurai en la que habla de los operadores tensoriales, y me quedé con ganas de una discusión más general/precisa desde el punto de vista matemático. Luego hojeé la página de Wikipedia sobre los operadores tensoriales, y me sentí igualmente insatisfecho. He aquí el motivo
En estas discusiones, se define esencialmente un conjunto indexado de operadores $T_{i_1\cdots i_k}$ para ser un operador tensorial "cartesiano" de rango $k$ proporcionado $$ U(R)\, T_{i_1\cdots i_k}\, U^\dagger(R) = R_{i_1}^{\phantom{i_1}j_1}\cdots R_{i_1}^{\phantom{i_1}j_1}T_{j_1\cdots j_k} $$ para cada rotación $R\in\mathrm{SO}(3)$ donde $U$ es una representación unitaria de $\mathrm{SO}(3)$ actuando sobre un espacio de Hilbert (normalmente el de algún sistema físico cuyo comportamiento bajo rotaciones queremos estudiar). Del mismo modo, se define un operador tensorial "esférico" de rango $n$ como un conjunto indexado de operadores $T^{(n)}_{q}$ con $-n<q,q'<n$ para lo cual $$ U(R)\,T_q^{(n)}\,U^\dagger(R) = \sum_{q'=-n}^n D_{q'q}^{(n)}(R)T_{q'}^{(n)} $$ donde $D^{(n)}$ es la representación irreducible de $\mathrm{SO}(3)$ de dimensión $n$ .
Basándose en estas definiciones estándar, yo pensaría que se podría definir algo menos "dependiente de las coordenadas" y extenderlo a representaciones de cualquier grupo, no sólo $\mathrm{SO}(3)$ de la siguiente manera.
Definición de candidato . Que un grupo $G$ se le dará. Sea $U$ sea una representación unitaria de $G$ en un espacio de Hilbert $\mathcal H$ y que $\rho$ sea una representación de $G$ en un espacio vectorial real o complejo de dimensiones finitas $V$ . A $k$ -Función multidireccional, lineal y con valor de operador $T:V^k\to \mathrm{Lin}(\mathcal H)$ se llama operador tensorial en relación con el par de representaciones $U$ y $\rho$ proporcionado \begin{align} U(g) T(v_1, \dots, v_k) U(g)^\dagger = T(\rho(g)v_1, \dots, \rho(g)v_k) \end{align} para todos $g\in G$ y para todos $v_1, \dots, v_k\in V$ .
Obsérvese que si una base $u_1, \dots, u_N$ pour $V$ está dada, y si definimos los componentes $T_{i_1,\dots i_k}$ de $T$ en esta base por \begin{align} T_{i_1 \dots i_k} = T(u_{i_1}, \dots, u_{i_k}) \end{align} y si $\rho(g)_i^{\phantom ij}$ denota la representación matricial de $\rho(g)$ en esta base, entonces utilizando la multilinealidad la propiedad definitoria de un operador tensorial puede escribirse como sigue \begin{align} U(g) T_{i_1\cdots i_k} U^\dagger(g) = \rho(g)_{i_1}^{\phantom {i_1}j_1}\cdots \rho(g)_{i_k}^{\phantom {i_k}j_k} T_{j_1\cdots j_k} \end{align} Así que esta definición reproduce inmediatamente la definición del tensor cartesiano anterior si tomamos, $V =\mathbb R^3$ , $G=\mathrm{SO}(3)$ y $\rho(R) = R$ y de forma similar para la definición del tensor esférico si tomamos $V=\mathbb C^{2n+1}$ , $G=\mathrm{SO}(3)$ , $\rho = D^{(n)}$ y $k=1$ .
Pregunta.
¿El tipo de objeto que acabo de definir es la formalización/generalización "adecuada" de la noción de operador tensorial utilizada en física; parece contener la noción de operador tensorial utilizada en la literatura de física? ¿Existe alguna literatura sobre el tipo de objeto que defino aquí? Creo que la respuesta sería afirmativa, ya que este tipo de cosas me parece una generalización natural que un físico con mentalidad matemática podría estudiar.
