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Derivada de una "media ponderada" de fracciones decrecientes

Estoy teniendo algunos problemas para mostrar la siguiente afirmación (que intuitivamente parece sostenerse):

Supongamos que tengo una serie de fracciones indexadas por i cada una de las cuales es una función de N:f_{i}\left( N\right) =\frac{A_{i}\left( N\right) }{B_{i}\left( N\right) } . Supongamos que:

  • (a) f_{i}\left( N\right) está aumentando en N
  • (b) B_{i}\left( N\right) está disminuyendo en N
  • (c) 0<A_{i}<1, 0<B_{i}<1 .

Consideremos ahora la siguiente "media ponderada":

AV\left( N\right) =\frac{\sum\limits_{i}p_{i}A_{i}\left( N\right) }{\sum\limits_{i}p_{i}B_{i}\left( N\right) } donde \sum p_{i}=1 .

Q: ¿Son las condiciones anteriores suficientes para garantizar que AV\left( N\right) está aumentando en N ¿también?

A continuación encontrará lo que he podido mostrar. Cualquier ayuda o idea será muy apreciada.


(a) implica que \frac{d A_{i}}{d N}B_{i}-A_{i}\frac{d B_{i}}{d N}>0

Ahora bien, tenga en cuenta que \frac{dAV\left( N\right) }{dN}>0 si

\left( \sum\limits_{i}p_{i}\frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}\right) \left( \sum\limits_{j}p_{j}B_{j}\left( N\right) \right) -\left( \sum\limits_{i}p_{i}A_{i}\left( N\right) \right) \left( \sum \limits_{j}p_{j}\frac{dB_{j}\left( N\right) }{dN}\right) >0

\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\left( p_{i}p_{j}\left[ \frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}B_{j}\left( N\right) -A_{i}\left( N\right) \frac {dB_{j}\left( N\right) }{dN}\right] \right) >0

\sum\limits_{i}\left( \left( p_{i}\right) ^{2}\left[ \frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}B_{i}\left( N\right) -A_{i}\left( N\right) \frac {dB_{i}\left( N\right) }{dN}\right] \right)
+\sum\limits_{i}% \sum\limits_{j\neq i}\left( p_{i}p_{j}\left[ \frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}B_{j}\left( N\right) -A_{i}\left( N\right) \frac{dB_{j}\left( N\right) }{dN}\right] \right) >0

\sum\limits_{i}\left( \left( p_{i}\right) ^{2}\left[ \frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}B_{i}\left( N\right) -A_{i}\left( N\right) \frac {dB_{i}\left( N\right) }{dN}\right] \right)
+\sum\limits_{i}% \sum\limits_{j\neq i}\left[ \left( p_{i}p_{j}\right) \frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}B_{j}\left( N\right) \right] -\left( p_{i}p_{j}\right) \sum\limits_{i}\sum\limits_{j\neq i}\left[ A_{i}\left( N\right) \frac{dB_{j}\left( N\right) }{dN}\right] >0

La primera suma es positiva (se deduce de (a)) y la tercera suma es negativa (se deduce de (b)). Pero la segunda suma no es necesariamente positiva.

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gregm Puntos 66

No, el AV no está necesariamente aumentando en N bajo los supuestos indicados. Prueba por contraejemplo:

Consideremos el caso en el que sólo hay dos fracciones que tienen la misma ponderación:

AV\left( N\right) =\frac{0.5A_{1}\left( N\right) +0.5A_{2}\left( N\right) }{0.5B_{1}\left( N\right) +0.5B_{2}\left( N\right) }=\frac {A_{1}\left( N\right) +A_{2}\left( N\right) }{B_{1}\left( N\right) +B_{2}\left( N\right) }

Ahora queremos saber si AV\left( N^{\prime}\right) >AV\left( N\right) (donde N^{\prime}>N ).

Considere los siguientes valores para A y B :

A_{1}\left( N\right) =\frac{5}{8},A_{2}\left( N\right) =\frac{1}{2} A_{1}\left( N^{\prime}\right) =\frac{5}{16},A_{2}\left( N^{\prime}\right) =\frac{2}{5} B_{1}\left( N\right) =\frac{1}{2},B_{2}\left( N\right) =\frac{5}{8} B_{1}\left( N^{\prime}\right) =\frac{1}{4},B_{2}\left( N^{\prime}\right) =\frac{1}{2}

Que satisface los supuestos (b)-(c) estrictamente, y (a) débilmente.Tenemos entonces que:

AV\left( N\right) =\frac{\frac{5}{8}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{5}{8} }=1 AV\left( N^{\prime}\right) =\frac{\frac{5}{16}+\frac{2}{5}}{\frac{1} {4}+\frac{1}{2}}=\frac{19}{20}<1

De modo que AV\left( N\right) es disminuyendo en N .

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