Derivada de una "media ponderada" de fracciones decrecientes

Question

Estoy teniendo algunos problemas para mostrar la siguiente afirmación (que intuitivamente parece sostenerse):

Supongamos que tengo una serie de fracciones indexadas por $i$ cada una de las cuales es una función de $N:f_{i}\left( N\right) =\frac{A_{i}\left( N\right) }{B_{i}\left( N\right) }$ . Supongamos que:

• (a) $f_{i}\left( N\right)$ está aumentando en $N$
• (b) $B_{i}\left( N\right)$ está disminuyendo en $N$
• (c) $0<A_{i}<1, 0<B_{i}<1$ .

Consideremos ahora la siguiente "media ponderada":

$AV\left( N\right) =\frac{\sum\limits_{i}p_{i}A_{i}\left( N\right) }{\sum\limits_{i}p_{i}B_{i}\left( N\right) }$ donde $\sum p_{i}=1$ .

Q: ¿Son las condiciones anteriores suficientes para garantizar que $AV\left( N\right)$ está aumentando en $N$ ¿también?

A continuación encontrará lo que he podido mostrar. Cualquier ayuda o idea será muy apreciada.

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(a) implica que $\frac{d A_{i}}{d N}B_{i}-A_{i}\frac{d B_{i}}{d N}>0$

Ahora bien, tenga en cuenta que $\frac{dAV\left( N\right) }{dN}>0$ si

$\left( \sum\limits_{i}p_{i}\frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}\right) \left( \sum\limits_{j}p_{j}B_{j}\left( N\right) \right) -\left( \sum\limits_{i}p_{i}A_{i}\left( N\right) \right) \left( \sum \limits_{j}p_{j}\frac{dB_{j}\left( N\right) }{dN}\right) >0$

$\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\left( p_{i}p_{j}\left[ \frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}B_{j}\left( N\right) -A_{i}\left( N\right) \frac {dB_{j}\left( N\right) }{dN}\right] \right) >0$

$\sum\limits_{i}\left( \left( p_{i}\right) ^{2}\left[ \frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}B_{i}\left( N\right) -A_{i}\left( N\right) \frac {dB_{i}\left( N\right) }{dN}\right] \right)$
$+\sum\limits_{i}% \sum\limits_{j\neq i}\left( p_{i}p_{j}\left[ \frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}B_{j}\left( N\right) -A_{i}\left( N\right) \frac{dB_{j}\left( N\right) }{dN}\right] \right) >0$

$\sum\limits_{i}\left( \left( p_{i}\right) ^{2}\left[ \frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}B_{i}\left( N\right) -A_{i}\left( N\right) \frac {dB_{i}\left( N\right) }{dN}\right] \right)$
$+\sum\limits_{i}% \sum\limits_{j\neq i}\left[ \left( p_{i}p_{j}\right) \frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}B_{j}\left( N\right) \right] -\left( p_{i}p_{j}\right) \sum\limits_{i}\sum\limits_{j\neq i}\left[ A_{i}\left( N\right) \frac{dB_{j}\left( N\right) }{dN}\right] >0$

La primera suma es positiva (se deduce de (a)) y la tercera suma es negativa (se deduce de (b)). Pero la segunda suma no es necesariamente positiva.

Answer 1

No, el AV no está necesariamente aumentando en $N$ bajo los supuestos indicados. Prueba por contraejemplo:

Consideremos el caso en el que sólo hay dos fracciones que tienen la misma ponderación:

$$AV\left( N\right) =\frac{0.5A_{1}\left( N\right) +0.5A_{2}\left( N\right) }{0.5B_{1}\left( N\right) +0.5B_{2}\left( N\right) }=\frac {A_{1}\left( N\right) +A_{2}\left( N\right) }{B_{1}\left( N\right) +B_{2}\left( N\right) }$$

Ahora queremos saber si $AV\left( N^{\prime}\right) >AV\left( N\right)$ (donde $N^{\prime}>N$ ).

Considere los siguientes valores para $A$ y $B$ :

$$A_{1}\left( N\right) =\frac{5}{8},A_{2}\left( N\right) =\frac{1}{2}$$ $$A_{1}\left( N^{\prime}\right) =\frac{5}{16},A_{2}\left( N^{\prime}\right) =\frac{2}{5}$$ $$B_{1}\left( N\right) =\frac{1}{2},B_{2}\left( N\right) =\frac{5}{8}$$ $$B_{1}\left( N^{\prime}\right) =\frac{1}{4},B_{2}\left( N^{\prime}\right) =\frac{1}{2}$$

Que satisface los supuestos (b)-(c) estrictamente, y (a) débilmente.Tenemos entonces que:

$$AV\left( N\right) =\frac{\frac{5}{8}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{5}{8} }=1$$ $$AV\left( N^{\prime}\right) =\frac{\frac{5}{16}+\frac{2}{5}}{\frac{1} {4}+\frac{1}{2}}=\frac{19}{20}<1$$

De modo que $AV\left( N\right)$ es disminuyendo en $N$ .