Estoy teniendo algunos problemas para mostrar la siguiente afirmación (que intuitivamente parece sostenerse):
Supongamos que tengo una serie de fracciones indexadas por i cada una de las cuales es una función de N:f_{i}\left( N\right) =\frac{A_{i}\left( N\right) }{B_{i}\left( N\right) } . Supongamos que:
- (a) f_{i}\left( N\right) está aumentando en N
- (b) B_{i}\left( N\right) está disminuyendo en N
- (c) 0<A_{i}<1, 0<B_{i}<1 .
Consideremos ahora la siguiente "media ponderada":
AV\left( N\right) =\frac{\sum\limits_{i}p_{i}A_{i}\left( N\right) }{\sum\limits_{i}p_{i}B_{i}\left( N\right) } donde \sum p_{i}=1 .
Q: ¿Son las condiciones anteriores suficientes para garantizar que AV\left( N\right) está aumentando en N ¿también?
A continuación encontrará lo que he podido mostrar. Cualquier ayuda o idea será muy apreciada.
(a) implica que \frac{d A_{i}}{d N}B_{i}-A_{i}\frac{d B_{i}}{d N}>0
Ahora bien, tenga en cuenta que \frac{dAV\left( N\right) }{dN}>0 si
\left( \sum\limits_{i}p_{i}\frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}\right) \left( \sum\limits_{j}p_{j}B_{j}\left( N\right) \right) -\left( \sum\limits_{i}p_{i}A_{i}\left( N\right) \right) \left( \sum \limits_{j}p_{j}\frac{dB_{j}\left( N\right) }{dN}\right) >0
\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\left( p_{i}p_{j}\left[ \frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}B_{j}\left( N\right) -A_{i}\left( N\right) \frac {dB_{j}\left( N\right) }{dN}\right] \right) >0
\sum\limits_{i}\left( \left( p_{i}\right) ^{2}\left[ \frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}B_{i}\left( N\right) -A_{i}\left( N\right) \frac {dB_{i}\left( N\right) }{dN}\right] \right)
+\sum\limits_{i}% \sum\limits_{j\neq i}\left( p_{i}p_{j}\left[ \frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}B_{j}\left( N\right) -A_{i}\left( N\right) \frac{dB_{j}\left( N\right) }{dN}\right] \right) >0
\sum\limits_{i}\left( \left( p_{i}\right) ^{2}\left[ \frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}B_{i}\left( N\right) -A_{i}\left( N\right) \frac {dB_{i}\left( N\right) }{dN}\right] \right)
+\sum\limits_{i}% \sum\limits_{j\neq i}\left[ \left( p_{i}p_{j}\right) \frac{dA_{i}\left( N\right) }{dN}B_{j}\left( N\right) \right] -\left( p_{i}p_{j}\right) \sum\limits_{i}\sum\limits_{j\neq i}\left[ A_{i}\left( N\right) \frac{dB_{j}\left( N\right) }{dN}\right] >0
La primera suma es positiva (se deduce de (a)) y la tercera suma es negativa (se deduce de (b)). Pero la segunda suma no es necesariamente positiva.