¿Cómo es el espaciotiempo localmente lorentziano?

Question

A raíz de las cuestiones planteadas aquí :

Si se quita toda la materia y la energía de un volumen significativamente grande de espaciotiempo, lo que quedará es un pequeño trozo de espaciotiempo que -en los supuestos de $\lambda CDM$ - será lorentziano. Por lorentziano se entiende que dos partículas sin masa y en reposo una respecto de la otra y separadas por una distancia, $\zeta$ se mantendrán separadas por $\zeta$ para siempre.

No puedo conciliar esto con las ecuaciones de la RG. La RG tiene esta constante que existe en todas las escalas. Sea lo que sea -y realmente no lo sabemos- esta propiedad es intrínseca a todo el espaciotiempo. Es decir, no se puede eliminar. El efecto neto de esta propiedad intrínseca es que el espacio crece exponencialmente con el tiempo.

Ahora ponga dos partículas de prueba sin masa en este espacio "local" completamente vacío. ¿No se acelerarán la una de la otra? Reduzca la escala y repita el experimento. La aceleración es la misma. ¿Cómo es este espaciotiempo, incluso a la escala más pequeña, lorentziano si las partículas de prueba actúan como si fuera curvo?

Answer 1

La cuestión es que "localmente plano", "localmente riemanniano", "localmente lorentziano", no significa que todas las propiedades geométricas tiendan a convertirse en las correspondientes en el espacio plano cuando se restringe a una vecindad suficientemente pequeña de un punto. A grandes rasgos, esto sólo es válido para aquellas propiedades que dependen de los coeficientes métricos hasta las primeras derivadas calculadas en el punto dado. Desde el punto de vista matemático, este hecho corresponde a la existencia de barrios normales de puntos.

En cuanto una propiedad depende de las derivadas superiores, no puede anularse restringiendo en una vecindad arbitrariamente pequeña de un punto. El ejemplo típico es la aceleración relativa de geodésicas "infinitesimalmente" cercanas. Obsérvese que se calcula con respecto al parámetro afín, de modo que existe también en una esfera en la que ese parámetro tiene la dimensión si espacio y no tiempo. Esta aceleración depende del tensor de Riemann (formado por las segundas derivadas de la métrica).

Finalmente, físicamente hablando, la curvatura es la aceleración relativa de los cuerpos en caída libre en RG : el tensor de curvatura de Riemann en un suceso puede medirse completamente midiendo esa aceleración relativa de las congruencias de la geodésica de tiempo en ese suceso.

Answer 2

La superficie de una esfera es localmente euclidiana.

Considera dos puntos en el ecuador de la Tierra que están a un metro de distancia. Póngalos en trayectorias hacia el norte. Durante un tiempo muy corto, parecerán estar a una distancia constante. Pero en el momento en que alcancen los 5° de latitud norte, notarás que la distancia entre ellos es menor en aproximadamente medio milímetro. Pero, sobre todo, hay que viajar unos 500 km para ver este efecto.

Esta es la diferencia entre las propiedades locales y las globales. La idea del cálculo, si se quiere, es que una curva es localmente una línea recta. El cálculo falla con estructuras ruidosas, y hay que inventar algo llamado cálculo estocástico para parchearlo, porque el ruido cuando se acerca no parece una línea recta. Pero el cálculo tiene éxito en una circunferencia porque si te acercas a un punto de la circunferencia, se parece cada vez más a una línea recta.

La geometría diferencial sólo aclara el tipo de cálculo que estás haciendo, en el sentido de preguntar, si me acerco más y más al espaciotiempo, ¿qué aspecto tiene exactamente? ¿Cuál es mi equivalente de "colector" para una "línea recta" aquí? Para la esfera, es un espacio euclidiano bidimensional, si miro muy de cerca los puntos de la esfera puedo pretender que la esfera está hecha de un mosaico de estos pequeños espacios euclidianos 2D, con la advertencia de que tendría que ir a una malla infinitamente pequeña para cubrir realmente la esfera con ellos.

Espero que esto aclare un poco las cosas. Al igual que en el círculo construimos una curva a partir de pequeñas líneas rectas, y en la esfera construimos curvas a partir de pequeños planos, la idea de la relatividad general es que podemos construir cualquier espacio-tiempo grande a partir de pequeños