Los homomorfismos de grupo continuos entre espacios vectoriales normados son lineales?

Question

El siguiente es el ejercicio III.1.13 de Análisis I de Amann y Escher.

Supongamos que $V$ y $W$ son espacios vectoriales normados y $f : V W$ es un continuo homomorfismo de grupo de $(V, +)$ a $(W, +)$ . Demostrar que $f$ es lineal. (Sugerencia: Si $\mathbb{K = R}$ , $x \in V$ y $q \mathbb{Q}$ entonces $f(qx) = qf(x)$ . Ver también Ejercicio $6$ .)

Aquí $\mathbb{K}$ es el campo base para $V$ y $W$ y $\mathbb{K=C}$ o $\mathbb{R}$ (que es una convención indicada en el texto).

Ahora bien, si $\mathbb{K=C}$ entonces por la pista sólo podemos mostrar que $f(a+bi)=af(1)+bf(i)$ para todos $a,b\in\mathbb{R}$ pero creo que $f(i)$ no tiene por qué ser igual a $if(1)$ , por lo que el resultado es falso. Por ejemplo, tomemos $V=W=\mathbb{C}$ considerados como espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$ y dotado de la norma euclidiana habitual. Sea $f$ sea la conjugación, es decir $f:a+bi\mapsto a-bi$ . Creo que es un homomorfismo de grupo continuo, pero no es lineal. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Sí, tienes razón. La prueba en el caso real funciona porque $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$ . Pero ese argumento no funciona en $\mathbb C$ .