Es $E\left(\frac{X}{X+Y}\right)=\frac12$ cuando $X$ y $Y$ siguen la misma distribución de probabilidad?

Question

Tuve un ejercicio sobre variables aleatorias, y traté de averiguar si lo siguiente es cierto:

Si $X$ y $Y$ siguen la misma distribución de probabilidad, entonces $E(\frac{X}{X+Y})=E(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$ .

Soy escéptico al respecto, ya que he intentado probarlo y no he conseguido nada.

Answer 1

Esto no es cierto en general, incluso cuando existen todas las expectativas implicadas: Como contraejemplo, supongamos que $(X,Y)$ está uniformemente distribuido en el conjunto $\{(1,2),(2,3),(3,1)\}$ entonces $X$ y $Y$ están ambos uniformemente distribuidos en el conjunto $\{1,2,3\}$ mientras que $Z=\frac{X}{X+Y}$ está uniformemente distribuido en el conjunto $\left\{\frac13,\frac25,\frac34\right\}$ por lo que $E(Z)=\frac13\left(\frac13+\frac25+\frac34\right)=\frac{89}{180}\ne\frac12$ .

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Si $(X,Y)$ se supone independiente e idénticamente distribuido, y casi seguramente positivo, entonces el resultado se mantiene porque, entonces, las dos parejas aleatorias $(X,Y)$ y $(Y,X)$ tienen la misma distribución, por lo que $Z=\frac{X}{X+Y}$ y $1-Z=\frac{Y}{Y+X}$ están idénticamente distribuidos, por lo que $E(Z)=E(1-Z)$ , qed.

Answer 2

Incluso si $X$ y $Y$ son independientes, el resultado no se mantiene necesariamente.

Como ejemplo sencillo, si $X$ y $Y$ son la norma IID Normal, entonces $E[X]=E[Y]=0$ pero $E[\frac{X}{X+Y}]$ no es igual a $\frac12$ (la expectativa no converge).